-
Algebraické výrazy
-
Mnohočleny
-
Sčítání a odčítání mnohočlenů
-
Násobení mnohočlenů
-
Dělení mnohočlenů
-
Rozklad mnohočlenů
-
Společný dělitel a společný násobek mnohočlenů
-
Lomené výrazy
Algebraický výraz je každý matematický zápis, který je tvořen z konstant a proměnných, mezi nimiž jsou pomocí algebraických operací (např. sčítání, násobení…) a závorek vytvořeny smysluplné vztahy.
Např.
,
,
,
…
Pojmem
proměnná označujeme libovolné písmeno (např.
), které zastupuje čísla z určitého oboru. Její číselná hodnota se mění podle toho, jaké číslo za ni dosadíme.
Pojmem
konstanta označujeme konkrétní číslo (např.
). Jeho hodnota se nemění, zůstává stejná – konstantní.
U výrazů určujeme:
-
Definiční obor proměnné - taková čísla, pro které daný výraz má smysl.
Většinou zapisujeme jako podmínky kdy má daný výraz smysl.
Např. pro výraz
musí platit podmínka
, pro
podmínka
…
-
Hodnotu výrazu pro dané hodnoty proměnných - výsledek získaný po dosazení daných hodnot z definičního oboru za všechny proměnné a provedení veškerých operací.
Např. Hodnota výrazu
pro
je
Příklad 1
Urči, kdy mají dané výrazy smysl:
-
-
-
Řešení
-
Výraz má smysl pro všechna
taková, že
, tj.
. Pro
by nastala nepřípustná operace dělení nulou. Tedy
.
-
Aby měl výraz smysl, musí zároveň platit:
. První podmínku lze přepsat jako
, druhou jako
.
Obě podmínky zaručují, že nebudeme odmocňovat záporné číslo, druhá podmínka navíc vylučuje dělení nulou.
Tedy
.
-
Aby daný výraz měl smysl, musí zároveň platit:
-
, tj.
. Tato podmínka platí pro všechna
, protože druhá mocnina libovolného čísla je vždy větší nebo rovna nule.
-
.
-
, tj.
, tedy
.
První podmínka zaručuje, že nebudeme odmocňovat záporné číslo.
Druhou a třetí podmínkou vyloučíme dělení nulou.
Tedy
,
,
.
Příklad 2
Urči hodnotu výrazu pro dané hodnoty proměnných:
-
, pro
-
, pro
-
, pro
Řešení
-
-
Pro zvolenou hodnotu proměnné výraz nemá smysl. Po dosazení za proměnnou
ve jmenovateli by nastala nepřípustná operace, a to dělení nulou.
-
Mnohočlen je speciálním případem výrazu. Mnohočlenem se rozumí součet konečného počtu členů, které jsou součinem reálné konstanty a jedné nebo více proměnných s přirozenými exponenty.
Např.
je mnohočlen se třemi proměnnými
je mnohočlen se dvěma proměnnými
je mnohočlen s jednou proměnnou
Naproti tomu např.
nejsou mnohočleny (některé proměnné nemají přirozené exponenty).
Mnohočlen (polynom)
-tého stupně s jednou proměnnou
je výraz:
Reálná čísla
se nazývají
koeficienty mnohočlenu, sčítanec
se nazývá člen
-tého stupně.
Pro některé členy mnohočlenu máme speciální pojmenování.
Člen
se nazývá
absolutní člen,
člen
lineární člen a
člen
kvadratický člen mnohočlenu.
Stupeň mnohočlenu odpovídá nejvyššímu exponentu proměnné v mnohočlenu.
Např. Mnohočlen
je mnohočlen druhého stupně (kvadratický mnohočlen), který má tři členy (tři sčítance).
Sčítat resp. odčítat můžeme pouze koeficienty u členů téhož stupně.
Příklad 1
Zjednoduš:
Řešení
Příklad 2
Zjednoduš:
, kde
Řešení
Při násobení mnohočlenu mnohočlenem násobíme každý člen jednoho mnohočlenu s každým členem mnohočlenu druhého.
Příklad 1
Zjednoduš:
Řešení
Při počítání s mnohočleny a následně i úpravě výrazů můžeme, pro zrychlení výpočtů, využít následující vzorce:
Příklad 2
Zjednoduš:
Řešení
Dělíme vždy nejvyšší člen dělence nejvyšším členem dělitele. Členem, který vyjde, vynásobíme celého dělitele a výsledný mnohočlen odečteme od dělence. Tak získáme nový mnohočlen nižšího stupně. Pokud není nově vzniklý mnohočlen nižšího stupně než dělitel, tento proces opakujeme.
Příklad 1
Vyděl mnohočleny:
Řešení
postup opakujeme
postup opakujeme
Vypočítané členy nám dají výsledek.
Tento zápis je však příliš zdlouhavý, proto používáme následující zkrácený zápis:
Pokud nám vyjde nenulový zbytek, zapisujeme ho do výsledku ve tvaru zlomku, kde v čitateli je zbytek a ve jmenovateli dělitel z původního zadání.
Příklad 2
Vyděl mnohočleny:
Řešení
Rovnost mnohočlenů – dva mnohočleny se rovnají, když mají stejný stupeň a stejné koeficienty u členů téhož stupně.
Např.:
Příklad 3
Urči, pro která reálná čísla
platí rovnost mnohočlenů:
Řešení
Levou stranu upravíme a porovnáme koeficienty u stejných mocnin proměnné
obou mnohočlenů.
Rozložit mnohočlen znamená vyjádřit ho jako součin mnohočlenů nižšího stupně.
Lze to provést:
1) vytýkáním
Příklad 1
Rozlož mnohočlen:
Řešení
2) pomocí vzorců
Příklad 2
Rozlož mnohočlen:
Řešení
Příklad 3
Rozlož mnohočlen:
Řešení
Společný dělitel mnohočlenů je mnohočlen, kterým je každý z daných mnohočlenů beze zbytku dělitelný.
Postup:
Všechny mnohočleny rozložíme na součin. Jejich společnými děliteli jsou ty mnohočleny, které se vyskytují v každém z těchto rozkladů.
Příklad 1
Urči společné dělitele mnohočlenů:
Řešení
Společní dělitelé jsou:
Společný násobek mnohočlenů je mnohočlen, který je každým z daných mnohočlenů beze zbytku dělitelný.
Postup:
Všechny mnohočleny rozložíme na součin. Jejich násobkem je součin nejvyšších mocnin všech mnohočlenů vyskytujících se aspoň v jednom rozkladu.
Příklad 2
Urči nejmenší společný násobek mnohočlenů:
Řešení
Nejmenší společný násobek je:
Lomeným výrazem se rozumí zlomek, v jehož jmenovateli jsou výrazy obsahující proměnné.
Při úpravě lomených výrazů nesmíme zapomenout udat podmínky, pro které hodnoty proměnné nemá daný výraz smysl.
Příklad 1
Sečti zlomky:
Řešení
Příklad 2
Zjednoduš výraz:
Řešení