MATEMATIKA

Obecn trojúhelník - Píklady

Píklad . 1

Urete délky vech stran a velikosti vech vnitních úhl trojúhelníku , je-li dáno:

a)  ;

b) ;

c)  ;

d) .

 

 

eení:

a)

 

 

 

 

 

 

 

Podle kosinové vty dopoítáme stranu .

 

  

                 /podle sinové vty uríme úhel  

 

   

                       /dopoítáme úhel  

 

 

b)

 

 

 

 

 

 

 

Podle kosinové vty vypoítáme úhel .

 

    

                      /podle sinové vty uríme úhel  

 

   

                     /dopoítáme úhel  

  

c)

 

 

 

 

 

 

 

 

Podle kosinové vty uríme stranu .

 

   

Podle sinové vty uríme úhel .

 

   

 

Dopoítáme úhel .

  

d) trojúhelník neexistuje, musí platit trojúhelníková nerovnost

 

 

 

 

 

 

Píklad . 2

Z pozorovatelny  vysoké a vzdálené  od behu eky se jeví íka eky v zorném úhlu . Vypoítejte íku eky.

eení:

Rozdlíme obrázek na pravoúhl trojúhelník  a obecn trojúhelník .

Z pravoúhlého trojúhelníku  vypoítáme Pythagorovou vtou peponu .

 

 

 

 

 

 

 

Goniometrickou funkcí dopoítáme vnitní úhel u vrcholu .

   

V obecném trojúhelníku  dopoítáme vnitní úhly .

 

   

  

 

Z obecného trojúhelníku  vypoítáme sinovou vtou stranu .

 

   

Píklad . 3

Letadlo letí ve vce  k pozorovateln. V okamiku prvního mení bylo vidt pod vkovm úhlem , pi druhém mení pod vkovm úhlem . Urete vzdálenost, kterou proletlo mezi obma meními.

eení:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rozdlíme nárt na dva trojúhelníky, pravoúhl  a obecn .

Z trojúhelníku  vypoítáme pomocí goniometrické funkce velikost strany .

 

 

 

 

 

Dopoítáme vnitní úhly obecného trojúhelníku .

 

Úhel  je  

  

  

 

 

Z trojúhelníku  vypoítáme vzdálenost  pomocí sinové vty.

 

 

  

Píklad . 4

Vrchol ve stojící na rovin vidíme z uritého místa  ve vkovém úhlu . Pijdeme-li smrem k jeho pat o  blí na místo , vidíme z nho vrchol ve ve vkovém úhlu . Jak vysoká je v?

eení:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rozdlíme obrázek na dva trojúhelníky. Obecn trojúhelník  a pravoúhl trojúhelník .

V obecném trojúhelníku  dopoítáme vnitní úhly.

     

Pomocí sinové vty vypoítáme stranu  v trojúhelníku .

 

   

 

V pravoúhlém trojúhelníku pomocí goniometrické funkce vypoítáme stranu  (vku ve).

 

 

  

 

Píklad . 5

Na vrcholu hory stojí v hradu vysoká . Kiovatku silnic v údolí vidíme z vrcholu ve a od její paty v hloubkovch úhlech . Jak vysoko je vrchol hory nad kiovatkou?

eení:

 

 

 

 

 

 

 

 

Rozdlíme nártek na dva trojúhelníky, obecn trojúhelník  a pravoúhl trojúhelník .

V obecném trojúhelníku  dopoítáme vnitní úhly trojúhelníku (pouijeme pvodní nártek).

 

   

 

 (epsílon)

   

 

 

  

 

 

Pomocí sinové vty uríme délku strany  (stranu  ).

 

   

Dopoítáme velikost úhlu  (fí) v pravoúhlém trojúhelníku .

 

 

 

 

 

V trojúhelníku  vypoítáme goniometrickou funkcí velikost strany  (stranu  ).

                     

   

Píklad . 6

V rovnobníku  je dáno: , , . Vypotte délky stran rovnobníku.

eení:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z obrázku vybereme obecn trojúhelník  a dopoítáme úhel .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pomocí sinové vty dopoítáme stranu .

 

   

Pomocí sinové vty dopoítáme stranu .

 

   

Píklad . 7

Urete vzdálenost dvou míst  mezi nimi leí pekáka, take  z místa  není viditelné. Byly zmeny vzdálenosti: , , piem  leí v jedné pímce, a , .

eení:

Rozdlíme nárt na dva obecné trojúhelníky.

V trojúhelníku  dopoítáme vnitní úhly.

 

 

 

 

 

 

Dopoítáme velikost strany . Pouijeme sinovu vtu.

 

 

  

 

V trojúhelníku  dopoítáme pomocí kosinové vty vzdálenost bod .