-
Soustavy lineárních rovnic
Soustavu rovnic tvoří několik rovnic o dvou a více neznámých, které mají být splněny současně. Řešením soustavy rovnic je průnik řešení jednotlivých rovnic. To znamená, že řešení soustavy rovnic je také řešením každé z rovnic tvořících tuto soustavu. Řešení zapisujeme jako uspořádané n-tice, kde n je počet neznámých v dané soustavě. Abychom mohli soustavu jednoznačně vyřešit, musí obsahovat alespoň tolik rovnic, kolik je neznámých.
Metody používané k řešení soustav rovnic:
-
metoda dosazovací (substituční)
-
metoda sčítací (adiční)
-
metoda srovnávací (komparační)
1. METODA DOSAZOVACÍ (SUBSTITUČNÍ)
Princip této metody spočívá v tom, že z jedné rovnice vyjádříme libovolnou jednu neznámou a výsledek dosadíme do druhé rovnice místo dané neznámé. Tím získáme rovnici o jedné neznámé, kterou vyřešíme. Tento výsledek pak dosadíme zpět do první rovnice a dopočítáme i druhou neznámou.
Příklad:
Řešte soustavu dvou rovnic o dvou neznámých v R:
Řešení
Z rovnice (2) vyjádříme neznámou
.
Dosadíme do rovnice (1).
Dosadíme do rovnice (3).
2. METODA SČÍTACÍ (ADIČNÍ)
Princip této metody spočívá v tom, že nejprve rovnice upravíme tak, aby koeficientem u jedné proměnné v první rovnici bylo opačné číslo ke koeficientu stejné proměnné v druhé rovnici. Po této úpravě rovnice sečteme a získáme jednu rovnici o jedné neznámé, kterou vyřešíme. Tento výsledek pak dosadíme zpět do jedné z daných rovnic a dopočítáme i druhou neznámou.
Příklad:
Řešte soustavu dvou rovnic o dvou neznámých v R:
Řešení
Rovnici (2) vynásobíme
, tím získáme opačné koeficienty neznámé
.
Sečteme rovnice (1) a (3).
Dosadíme do rovnice (2).
3. METODA SROVNÁVACÍ (KOMPARAČNÍ)
Princip této metody spočívá v tom, že nejprve rovnice upravíme tak, aby měly stejnou jednu stranu. Porovnáním druhých stran získáme jednu rovnici o jedné neznámé, kterou vyřešíme. Tento výsledek pak dosadíme zpět do jedné z daných rovnic a dopočítáme i druhou neznámou.
Příklad:
Řešte soustavu dvou rovnic o dvou neznámých v R:
Řešení
Z obou rovnic vyjádříme např.
.
Porovnáme pravé strany rovnic (3) a (4).
Dosadíme např. do rovnice (3).
Tyto metody (nejčastěji dosazovací) můžeme použít i při řešení soustav rovnic s více neznámými.
Z hlediska počtu řešení mohou nastat tři možnosti.
-
Soustava rovnic má právě jedno řešení.
Příklad:
Řešte soustavu tří rovnic o třech neznámých v R:
Řešení
Z rovnice (2) vyjádříme neznámou
.
Dosadíme do rovnice (1) a vyjádříme další neznámou.
Dosadíme do rovnice (3) a vyjádříme poslední neznámou.
Dosadíme do rovnice (5).
Dosadíme do rovnice (4).
-
Soustava nemá žádné řešení.
Příklad:
Řešte soustavu tří rovnic o třech neznámých v R:
Řešení
Z rovnice (1) vyjádříme neznámou
.
Dosadíme do rovnice (2) a vyjádříme další neznámou.
Dosadíme do rovnice (3) a vyjádříme poslední neznámou.
-
Soustava rovnic má nekonečně mnoho řešení, vztah mezi neznámými zapíšeme pomocí parametru.
Příklad:
Řešte soustavu tří rovnic o třech neznámých v R:
Řešení
Z rovnice (1) vyjádříme neznámou
.
Dosadíme do rovnice (2) a vyjádříme další neznámou.
Dosadíme do rovnice (3) a vyjádříme poslední neznámou.
Neznámé vyjádříme pomocí parametru
, kde
.
Dosadíme do rovnice (5).
Dosadíme do rovnice (4).
Řešení by tedy bylo např. pro
,
pro
.
Při řešení soustav rovnic, z nichž jedna je kvadratická, vyjadřujeme neznámou z lineární rovnice a dosazujeme do rovnice kvadratické. Protože kvadratická rovnice může mít dva kořeny, mohou být řešením takovýchto soustav dvě uspořádané dvojice
.