-
Rovnice a jejich řešení
-
Lineární rovnice
-
Rovnice s neznámou ve jmenovateli
-
Rovnice s absolutní hodnotou
-
Kvadratické rovnice
-
Iracionální rovnice
Vztah mezi dvěma čísly, která se rovnají, se nazývá rovnost.
Příklady rovností:
,
,
,
,
Rovnice obsahuje kromě čísel i tzv.
neznámé.
Například:
je rovnice o jedné neznámé
.
je rovnice o dvou neznámých
.
O rovnici říkáme, že je v anulovaném tvaru nebo že je
anulovaná,
je-li její jedna strana rovna
.
Řešit rovnici znamená určit všechna čísla, která po dosazení za neznámé převedou rovnici na rovnost. Tato čísla se nazývají
kořeny nebo též
řešení dané rovnice.
Množinu všech řešení značíme
.
Ekvivalentní úpravy – úpravy, které nemění množinu všech řešení
.
-
Záměna stran rovnice:
-
Přičtení (odečtení) libovolného čísla k oběma stranám rovnice
-
Vynásobení (vydělení) obou stran rovnice libovolným nenulovým číslem
Lineární rovnicí nazýváme takovou rovnici, ve které se vyskytuje pouze
jedna neznámá v první mocnině.
Příklad:
Řešte rovnici v R
Řešení
Nejdříve se zbavíme v rovnici zlomků tak, že celou rovnici vynásobíme společným násobkem jmenovatelů. Je třeba dát pozor na to, že mínus před zlomkem změní všechna znaménka v čitateli.
Když máme rovnici bez zlomků a bez závorek, převedeme na jednu stranu všechny neznámé
a na druhou všechna čísla.
Výsledek můžeme zapsat i desetinným číslem
Z hlediska počtu řešení mohou nastat tři možnosti řešení rovnice:
-
Po upravení rovnice nám vychází neznámá rovna jednomu číslu. Rovnice má jedno řešení.
Příklad:
-
Při úpravě z rovnice vypadne neznámá a vychází nám rovnost. Rovnice má nekonečně mnoho řešení.
Příklad:
-
Při úpravě z rovnice vypadne neznámá, ale nevychází nám rovnost. Rovnice nemá řešení.
Příklad:
Když se vyskytuje neznámá ve jmenovateli, stanovíme nejprve podmínky, jakých hodnot nesmí neznámá dosahovat. To znamená, že vyloučíme všechny hodnoty, u kterých bychom po dosazení za neznámou do rovnice dostali nulu ve jmenovateli. (Nulou nelze dělit).
Dále pak vynásobíme celou rovnici společným násobkem jmenovatelů, abychom se zbavili zlomků, a pomocí ekvivalentních úprav rovnici vyřešíme.
Hodnoty neznámé, které jsme vyloučili v podmínce, se nesmí objevit v množině všech řešení.
Příklad:
Řešte rovnici v R:
Řešení
Absolutní hodnota každého čísla je nezáporné číslo a platí:
je-li
,pak
např.
je-li
,pak
je-li
,pak
např.
Je-li tedy v absolutní hodnotě záporné číslo, musím pro odstranění absolutní hodnoty toto číslo vynásobit
. Je-li v absolutní hodnotě výraz, který nabývá záporných hodnot, musím ho také vynásobit
. Tento princip využíváme při řešení rovnic s absolutní hodnotou
metodou nulových bodů.
Nulový bod absolutní hodnoty je takové číslo, po jehož dosazení za neznámou v absolutní hodnotě, je absolutní hodnota rovna nule.
Nulový bod rozdělí číselnou osu na dvě části, dva intervaly. Přitom po dosazení jakéhokoliv čísla z jednoho intervalu za neznámou v absolutní hodnotě dostaneme v absolutní hodnotě číslo záporné a po dosazení jakéhokoliv čísla z druhého intervalu za neznámou v absolutní hodnotě dostaneme v absolutní hodnotě číslo kladné.
Říkáme, že absolutní hodnota nabývá na daném intervalu záporných respektive kladných hodnot.
Příklad:
Řešte rovnici v R:
Řešení
Určíme nulový bod absolutní hodnoty. Musí platit
nulový bod je
.
Nulový bod nám rozdělil číselnou osu na dva intervaly
a
.
Pro zjednodušení bereme, že nulový bod patří do obou těchto intervalů.
Na intervalu
nabývá absolutní hodnota záporných hodnot (např. pro číslo
platí po dosazení do absolutní hodnoty
).
Na intervalu
nabývá absolutní hodnota kladných hodnot (např. pro číslo
platí po dosazení do absolutní hodnoty
).
Rovnici řešíme pro každý interval zvlášť a celkové řešení je pak sjednocením jednotlivých řešení.
-
Pro
nabývá absolutní hodnota záporných hodnot. Abychom se jí zbavili, vynásobíme celý výraz v absolutní hodnotě
, neboli změníme všechna znaménka v této absolutní hodnotě. Rovnice pak bude vypadat následovně:
-
Pro
nabývá absolutní hodnota kladných hodnot. Můžeme ji tedy odstranit, aniž bychom cokoliv měnili. Rovnice pak bude vypadat následovně:
Kvadratickou rovnici s neznámou
lze psát ve tvaru
, kde
jsou reálná čísla,
. Tento tvar se nazývá
obecný tvar kvadratické rovnice.
je
kvadratický člen,
lineární člen,
absolutní člen kvadratické rovnice.
Rozdělení kvadratických rovnic
-
Neúplné kvadratické rovnice
-
Ryze kvadratická rovnice
Př.:
-
Kvadratická rovnice bez absolutního členu
Př.:
-
Úplné kvadratické rovnice
Př.:
Řešení rovnic (určení kořenů rovnic)
Výsledek budeme zapisovat jako množinu všech kořenů dané rovnice.
-
Ryze kvadratické rovnice
Je třeba nezapomínat na záporné kořeny, neboť platí také
.
-
Kvadratické rovnice bez absolutního členu
Iracionální rovnice jsou rovnice, které mají neznámou
v odmocněnci (pod odmocninou).
Např.:
Při řešení iracionálních rovnic umocňujeme obě strany rovnice. Tato úprava není ekvivalentní, proto musí být součástí řešení také zkouška. Tou vyloučíme nevyhovující řešení.
Určení podmínek k vyloučení nevyhovujících řešení nestačí.
Umocněním se odmocniny zbavíme jen tehdy, je-li osamostatněná. To znamená, že odmocnina, kterou chceme odstranit je na jedné straně rovnice a všechno ostatní na druhé.
Je-li v rovnici více odmocnin, musíme obvykle umocnit rovnici vícekrát.