MATEMATIKA

1.     Logaritmické rovnice

V logaritmickch rovnicích se vyskytují logaritmy vraz s neznámou.
eíme je obvykle tak, e je pevedeme na tvar:
, kde .

Vzhledem k tomu, e logaritmická funkce je prostá má tato rovnice s neznámou x jediné eení: .

Souástí eení logaritmickch rovnic je zkouka nebo uvedení podmínek, pro která  má daná rovnice smysl. Provedeme-li njakou neekvivalentní úpravu, je nutná zkouka (podmínky nestaí).

1.1      Typy logaritmickch rovnic

Pro zjednoduení meme logaritmické rovnice rozdlit na dva typy:

1. typ: Logaritmované vrazy obsahující neznámou nejsou vechny stejné. Rovnici upravíme podle pravidel pro poítání s logaritmy tak, aby na kadé stran rovnice byl pouze jeden logaritmus a rovnici odlogaritmujeme,

2. typ: Logaritmované vrazy obsahující neznámou jsou vechny stejné. Rovnice eíme pomocí substituce.

1.1.1   1. typ

Píklad  Vypoítejte:

a)  ;

b) .

a)           /podmínky:  neboli
         /íslo  zapíeme jako logaritmus o základu       /odlogaritmujeme

                       /protoe , je toto íslo koenem
 

b)        /podmínky:  neboli  a  
      /íslo  zapíeme jako logaritmus
                                                    o základu

                  /odlogaritmujeme


                                   /protoe , je toto íslo koenem
 

1.1.2   2. typ

Píklad  Vypoítejte:

a)  ;

b) ;

c)  .

a)                    /podmínky: 
                  /pouijeme substituci
                           /


                               /oba koeny dosadíme do substituce
                                           a uríme neznámé

                                /protoe , je toto íslo koenem

                              /protoe , je toto íslo koenem
 

b)            /rovnici meme zapsat i jinm zpsobem
   /podmínky: , pouijeme substituci
                                         


                              /dosadíme do substituce  a
                                          uríme neznámé

                                 /protoe , je toto íslo koenem

                                /protoe , je toto íslo koenem
 

c)                           /zlogaritmujeme


              /podmínky: , pouijeme substituci
                                         


                               /dosadíme do substituce  a uríme
                                          neznámé

                                /protoe , je toto íslo koenem

                               /protoe , je toto íslo koenem
 

1.2      Píklady

1.2.1   Píklad . 1

ete rovnice:

a)  ;

b) ;

c)  ;

d) .

eení:

a)               /podmínky:  a  
                                                             neboli  a   
              /rzné logaritmované vrazy,
                                                             íslo 2 zapíeme pomocí log
      /upravíme, aby na kadé stran
                                                             byl jen jeden logaritmus
                   /odlogaritmujeme
                                /


               / protoe , je toto íslo eením dané rovnice
 

b)           /podmínky:  neboli
                                                     a  
                   /odlogaritmujeme
                                 /
                             /


                /protoe , je toto íslo eením dané rovnice
            /protoe , toto íslo není eením dané rovnice
 

c)           /podmínky: ,
                                                                       a
                     /odlogaritmujeme


              / protoe , toto íslo není eením dané rovnice
 

d)          /podmínky:  a  
                                                    neboli  a
          /odlogaritmujeme
                                  /


                /protoe , je toto íslo eením dané rovnice
 

1.2.2   Píklad . 2

ete rovnice:

a)  ;

b) ;

c)  ;

d) .

eení:

a) 
  /podmínky: , pouijeme substituci



                      /oba koeny dosadíme do substituce  a
                                 uríme neznámou

    
                      /protoe , je toto íslo eením dané rovnice

   
                       /protoe , je toto íslo eením dané rovnice
 

b) 
   /podmínky: , pouijeme substituci
                  /




                      /oba koeny dosadíme do substituce  a
                                 uríme neznámou

    

                         /protoe , je toto íslo eením dané rovnice


                      /protoe , je toto íslo eením dané rovnice
 

c)      /podmínky: , pouijeme substituci


                      /oba koeny dosadíme do substituce  a
                                 uríme neznámou

   
                     /protoe , je toto íslo eením dané rovnice

  
               /protoe , je toto íslo eením dané rovnice
 

d)               /podmínky: , pouijeme substituci
                  /



            /oba koeny dosadíme do substituce  a uríme neznámou
             /   pirozen logaritmus
/   Eulerovo íslo
              /protoe , je toto íslo eením dané rovnice


            /protoe , je toto íslo eením dané rovnice
 

1.2.3   Píklad . 3

ete rovnice:

a)  ;

b) ;

c)  ;

d) ;

e)  ;

f)  .

eení:

a)  /
              /
          /podmínky:  neboli , íslo  
                                          zapíeme pomocí
           /odlogaritmujeme


                        /protoe , je toto íslo eením dané rovnice
 

b)        /podmínky:  neboli  a
             /odlogaritmujeme


                         /protoe , je toto íslo eením dané rovnice
 

c)          /podmínky: , pouijeme
                                                             substituci




                     /oba koeny dosadíme zpt do substituce  

    
                       /protoe , je toto íslo eením dané rovnice




                     /protoe , je toto íslo eením dané rovnice
 

d)         /podmínky:  a
                                           neboli  a

         /odlogaritmujeme
                      /



                        /protoe , je toto íslo eením dané rovnice
                     /protoe , toto íslo není eením dané rovnice
 

e)         /podmínky:  neboli ,
                                                    substituce
                                    /




                       /oba koeny dosadíme zpt do substituce  


    
                       /protoe , je toto íslo eením dané rovnice




                         /protoe , je toto íslo eením dané rovnice
 

f)  
         /
        /podmínky:  a  
                                                    neboli  a
/upravíme, aby na kadé
                                                             stran byl jen jeden logaritmus
        /odlogaritmujeme


                       /protoe , je toto íslo eením dané rovnice
                       /protoe , toto íslo není eením dané rovnice
 

g)       /odlogaritmujeme




Podmínky  lze urit pomocí nulovch bod. Správnost eení meme ovit i zkoukou.
 
             /protoe , je
                                                             toto íslo eením dané rovnice
 
              /protoe , je
                                                             toto íslo eením dané rovnice