MATEMATIKA

1.     kvadratické rovnice

1.1      Viètovy vzorce

Nech  je kvadratická rovnice v normovaném tvaru (koeficient  ). Pro koeny  této rovnice platí:

 

Rovnici , kde  lze vydlit koeficientem  
a pevést na normovan tvar  

Píklad . 1  ete rovnici .

,     ,   koeny jsou
                                                                                   kladná ísla
                
               


 

Píklad . 2  ete rovnici .

,     ,   koeny jsou
                                                                             záporná ísla
                 
               


 

Píklad . 3  ete rovnici .

,     ,   vyí z ísel je
                                                                                     záporné
               
               


 

Píklad . 4  ete rovnici .

                 /  

 

,     ,   vyí z ísel je
                                                                                      kladné
                       
                          


 

1.1.1   Vpoet koen kvadratické rovnice pomocí koeficient 

Koeny kadé kvadratické rovnice (vetn ji zmínnch) lze urit pomocí jejích koeficient .

Vzorce pro vpoet koen kvadratické rovnice:

 

,

kde  je diskriminant,  je koeficient kvadratického lenu,  je koeficient lineárního lenu,  je absolutní len.

Píklad . 1  ete rovnici .

, ,











 

Píklad . 2  ete rovnici .

, ,





              /  ásten odmocníme

                     /vytkneme 2
                /zkrátíme




 

O kvadratické rovnici  s diskriminantem  platí:
pro          rovnice má práv dva reálné rzné koeny:

                           
pro          rovnice má jeden dvojnásobn koen:

                          
pro          rovnice nemá ádné reálné koeny

1.1.2   Rozklad kvadratického trojlenu

Pro rozklad kvadratického trojlenu na souin platí:

,
kde  jsou koeny kvadratické rovnice . Jestlie tato rovnice nemá eení, kvadratick trojlen nelze rozloit na souin.

Píklad . 1  Rozlote kvadratické trojleny .

Uríme koeny kvadratické rovnice











Vypoítané koeny  ,  a koeficient  dosadíme do vztahu:

.

Rozklad meme zapsat také ve tvaru:
.

Píklad . 2  Rozlote kvadratické trojleny .

Uríme koeny kvadratické rovnice







Vypoítané koeny  ,  a koeficient  dosadíme do vztahu:

.

Rozklad meme zapsat také ve tvaru:
.

Píklad  3  Rozlote kvadratické trojleny .

Uríme koeny kvadratické rovnice




Diskriminant je záporn, rovnice tedy nemá eení a kvadratick trojlen  nelze rozloit.

1.2      Píklady

1.2.1   Píklad . 1  eení rovnic

ete v R rovnice:

a)  ;

b) ;

c)  ;

d) ;

e)  .

eení:

a)                           /vytkneme
                     /souin je roven nule, je-li roven nule       aspo
                                          jeden z initel

                           /
                            /

 

b)                             /rovnici anulujeme
                      /vytkneme
          /souin je roven nule, je-li roven nule       aspo
                                          jeden z initel

                          /
                               /

 

c)                   /rovnici anulujeme
                          /
                                /
                                  /odmocníme a získáme jeden kladn a
                                          jeden záporn koen


 

d)                          /rovnici anulujeme
                     /
                         /
                               /odmocníme a získáme jeden kladn a
                                          jeden záporn koen


 

e)                   /rovnici anulujeme
                      /
                         /
         
             
Rovnice nemá eení v mnoin reálnch ísel, protoe odmocnina ze záporného ísla neexistuje.

1.2.2   Píklad . 2  Viètovy vzorce

ete v R rovnice uitím Viètovch vzorc:

a)  ;

b) ;

c)  ;

d) ;

e)  ;

f)  .

eení:

a)  Z rovnice  uríme  a . Musí platit:
tedy  
      tedy  
Hledáme dv ísla, jejich souin je 36 a (podle znaménka q) jejich rozdíl 5. Tomu odpovídají ísla 9 a 4.
Souin koen je íslo záporné, to znamená, e jeden koen je kladn a druh záporn.
Souet koen je íslo kladné, to znamená, e vtí íslo bude kladné.
Koeny dané rovnice jsou  a . Dosazením do vzorc meme ovit správnost naí úvahy.


 

b)  Z rovnice  uríme  a . Musí platit:
tedy  
      tedy  
Hledáme dv ísla, jejich souin je 56 a (podle znaménka q) jejich souet 15. Tomu odpovídají ísla 8 a 7.
Souin koen je íslo kladné, to znamená, e jsou oba koeny kladné nebo oba záporné.
Souet koen je íslo kladné, to znamená, e jsou koeny kladné.
Koeny dané rovnice jsou  a . Dosazením do vzorc meme ovit správnost naí úvahy.


 

c)  Z rovnice  uríme  a . Musí platit:
tedy  
      tedy  
Hledáme dv ísla, jejich souin je 24 a (podle znaménka q) jejich souet 14. Tomu odpovídají ísla 2 a 12.
Souin koen je íslo kladné, to znamená, e jsou oba koeny kladné nebo oba záporné.
Souet koen je íslo záporné, to znamená, e jsou koeny záporné.
Koeny dané rovnice jsou  a . Dosazením do vzorc meme ovit správnost naí úvahy.


 

d)  Z rovnice  uríme  a . Musí platit:
tedy  
      tedy  
Hledáme dv ísla, jejich souin je 50 a (podle znaménka q) jejich rozdíl 5. Tomu odpovídají ísla 10 a 5.
Souin koen je íslo záporné, to znamená, e jeden koen je kladn a druh záporn.
Souet koen je íslo záporné, to znamená, e vtí íslo bude záporné.
Koeny dané rovnice jsou  a . Dosazením do vzorc meme ovit správnost naí úvahy.


 

e)         /     pevedeme rovnici na normovan tvar
Z rovnice  uríme  a . Musí platit:
tedy  
      tedy  
Hledáme dv ísla, jejich souin je 6 a (podle znaménka q) jejich souet je 5. Tomu odpovídají ísla 2 a 3.
Souin koen je íslo kladné, to znamená, e jsou oba koeny kladné nebo oba záporné.
Souet koen je íslo záporné, to znamená, e jsou koeny záporné.
Koeny dané rovnice jsou  a . Dosazením do vzorc meme ovit správnost naí úvahy.


 

f)          /          pevedeme rovnici na normovan tvar
Z rovnice  uríme  a . Musí platit:
tedy  
      tedy  
Hledáme dv ísla, jejich souin je 11 a (podle znaménka q) jejich rozdíl 10. Tomu odpovídají ísla 11 a 1.
Souin koen je íslo záporné, to znamená, e jeden koen je kladn a druh záporn.
Souet koen je íslo kladné, to znamená, e vtí íslo bude kladné.
Koeny dané rovnice jsou  a . Dosazením do vzorc meme ovit správnost naí úvahy.


 

1.2.3   Píklad . 3  sestavení kvadratické rovnice

Sestavte kvadratickou rovnici, její koeny jsou:

a)  , ;

b) , ;

c)  , ;

d) , .

eení:

a)  K sestavení rovnice vyuijeme Viètovch vzorc






Hodnoty  a  dosadíme do rovnice  a získáme hledanou rovnici.
 

b)  K sestavení rovnice vyuijeme Viètovch vzorc

         /podle vzorce






Hodnoty  a  dosadíme do rovnice  a získáme hledanou rovnici.
 

c)  K sestavení rovnice vyuijeme Viètovch vzorc

      




Hodnoty  a  dosadíme do rovnice  a získáme hledanou rovnici.
 

d)  K sestavení rovnice vyuijeme Viètovch vzorc






Hodnoty  a  dosadíme do rovnice  a získáme hledanou rovnici.
                         /
 

1.2.4   Píklad . 4  eení rovnic

ete v R rovnice:

a)  ;

b) ;

c)  ;

d) ;

e)  ;

f)  .

eení:

a)                 /z rovnice uríme  , ,
Dosadíme do vzorc pro vpoet koen kvadratické rovnice.











 

b)                     /      rovnici anulujeme
                 /z rovnice uríme  , ,
Dosadíme do vzorc pro vpoet koen kvadratické rovnice.




Diskriminant je záporn, rovnice tedy nemá eení.
 

c)              / podle vzorce
       /   rovnici anulujeme
                         /   rovnice bez lineárního lenu
                             /
                              / odmocníme a získáme jeden kladn a
                                          jeden záporn koen


 

d)    /roznásobíme pravou stranu
         /      anulujeme rovnici
                  /z rovnice uríme  , ,
Dosadíme do vzorc pro vpoet koen kvadratické rovnice.





              /ásten odmocníme

                   /vytkneme -2
             /zkrátíme

          /vytkneme -2
            /zkrátíme

 

e)                /roznásobíme pravou stranu
                /       anulujeme rovnici
                  /z rovnice uríme  , ,
Dosadíme do vzorc pro vpoet koen kvadratické rovnice.







 

f)                       /  
          /     anulujeme rovnici
          /z rovnice uríme  , ,
Dosadíme do vzorc pro vpoet koen kvadratické rovnice.




    






 

1.2.5   Píklad . 5  kdy má vraz smysl

Urete, kdy mají dané vrazy smysl:

a)  ;

b) ;

c)  .

eení:

a)  Dan zlomek má smysl, je-li jeho jmenovatel rzn od nuly. Rozloíme jej tedy na souin a vylouíme vechny hodnoty , pro které se nule rovná. K urení koen rovnice  vyuijeme Viètovch vzorc.
tedy  
      tedy  
Koeny této rovnice jsou  a  a pro dan vraz platí:

Dan vraz má smysl pro vechna  a .

b)  Dan zlomek má smysl, je-li jeho jmenovatel rzn od nuly. Rozloíme jej tedy na souin podle vzorce  a vylouíme vechny hodnoty , pro které se nule rovná.

Dan vraz má smysl pro vechna .

c)  Dan zlomek má smysl, je-li jeho jmenovatel rzn od nuly. Rozloíme jej tedy na souin a vylouíme vechny hodnoty , pro které se nule rovná. K urení koen rovnice  vyuijeme vzorc pro vpoet koen kvadratické rovnice.









Koeny této rovnice jsou  a  a pro dan vraz platí:

Dan vraz má smysl pro vechna  a .