MATEMATIKA

1.     Goniometrické rovnice

Goniometrickmi rovnicemi nazváme rovnice, které krom konstant obsahují neznámou  nebo vrazy s neznámou  jako argumenty jedné nebo nkolika goniometrickch funkcí.

Goniometrické rovnice meme eit numericky nebo graficky.

1.1      Numerické eení goniometrickch rovnic.

1.1.1   Základní goniometrické rovnice

Základní goniometrickou rovnicí s neznámou  je rovnice tvaru , kde  je goniometrická funkce,  je reálné íslo (nap.  ).

Základní goniometrickou rovnicí s neznámou  je tedy rovnice, která má na jedné stran pouze goniometrickou funkci s argumentem  a na stran druhé reálné íslo.

Pi eení goniometrické rovnice postupujeme následovn:

1.  Najdeme pomocné eení  rovnice  leící v intervalu .

2.  Podle znaménka reálného ísla uríme, ve kterch dvou kvadrantech leí eení dané rovnice.

3.  Uríme obecné eení:
v 1. kvadrantu je eení
ve 2. kvadrantu je eení
ve 3. kvadrantu je eení
ve 4. kvadrantu je eení
eíme-li rovnici v R, piítáme k tmto eením jet vechny celoíselné násobky základní periody.
To znamená:   pro funkce  a  piítáme , ,
                       pro funkce  a  piítáme , .

Píklad . 1  ete rovnici  v R.

pomocné eení z 1. kvadrantu:  
funkce  je kladná v 1. a 4. kvadrantu

  

mnoina vech eení:  

Píklad . 2  ete rovnici  v R.

           /  pevedeme na základní rovnici

pomocné eení z 1. kvadrantu:  
funkce  je záporná ve 2. a 4. kvadrantu

           /v tomto eení jsou obsaena eení ze 2. i 4. kvadrantu

mnoina vech eení :  

Píklad  3  ete rovnici  v R.

       /pevedeme na základní rovnici
           /zlomek usmrníme (vynásobíme zlomkem  )

pomocné eení z 1. kvadrantu:  
funkce  je záporná ve 3. a 4. kvadrantu
 
  

mnoina vech eení:  

1.1.2   Goniometrické rovnice eené pomocí substituce za argument

Není-li v argumentu funkce pouze neznámá, pouijeme pro pevedení na základní goniometrickou rovnici substituci za argument. Dílí eení pak dosadíme zpátky do substituce a uríme obecné eení.

Píklad . 1  ete rovnici  v R.

                     /pouijeme substituci:
                       /pevedeme na základní rovnici

pomocné eení z 1. kvadrantu:  
funkce  je kladná v 1. a 3. kvadrantu
                      /dílí eení dosadíme zpt do substituce místo y


mnoina vech eení:  

Píklad . 2  ete rovnici  v R.

         /pouijeme substituci:
          /pevedeme na základní rovnici


pomocné eení z 1. kvadrantu:  
funkce  je záporná ve 2. a 3. kvadrantu

                 /dílí eení dosadíme zpt do substituce místo y

 

                 /dílí eení dosadíme zpt do substituce místo y

 

mnoina vech eení:  

Píklad . 3  ete rovnici  v R.

     /pouijeme substituci:
                /pevedeme na základní rovnici

pomocné eení z 1. kvadrantu:  
funkce  je kladná v 1. a 2. kvadrantu
                   /dílí eení dosadíme zpt do substituce místo y

 

                /dílí eení dosadíme zpt do substituce místo y

 

mnoina vech eení:  

1.1.3   Goniometrické rovnice eené pomocí substituce za funkci

Vyskytují-li se v rovnici rzné mocniny goniometrické funkce, pouijeme pro pevedení na základní goniometrickou rovnici substituci za celou goniometrickou funkci. Dílí eení pak dosadíme zpátky do substituce a uríme obecné eení.

Píklad . 1  ete rovnici  v R.

           /pouijeme substituci:

                 /vyeíme nap. uitím Viètovch vzorc


                             /dílí eení dosadíme zpt do substituce místo y

       /           tato rovnice nemá eení

                          /dílí eení dosadíme zpt do substituce místo y

               
                 

mnoina vech eení:  

Píklad . 2  ete rovnici  v R.

         /  pouijeme substituci:
                       /     
 


                          /dílí eení dosadíme zpt do substituce místo y

                    /funkce  je kladná v 1. a 3. kvadrantu
 

                       /dílí eení dosadíme zpt do substituce místo y

                  /funkce  je záporná ve 2. a 4. kvadrantu
  

mnoina vech eení:  

Píklad . 3  ete rovnici  v R.

      /pouijeme substituci:






                             /dílí eení dosadíme zpt do substituce místo y

 
 

                            /dílí eení dosadíme zpt do substituce místo y

                         /funkce  je kladná v 1. a 2. kvadrantu

  

mnoina vech eení:  

1.1.4   Ostatní goniometrické rovnice

Vtinou se v nich vyskytují dv rzné goniometrické funkce. Matematickou úpravou (pomocí vzoreku nebo vytkáním) je pevedeme na nkter z pedchozích typ goniometrickch rovnic.

Píklad . 1  ete rovnici  v R.

       /
   /pouijeme substituci:

                 /vyeíme nap. uitím Viètovch vzorc


                           /dílí eení dosadíme zpt do substituce místo y

                       /        tato rovnice nemá eení

                             /dílí eení dosadíme zpt do substituce místo y

 

mnoina vech eení :  

Píklad . 2  ete rovnici  v R.

     /vytkneme
         /souin je roven nule, kdy je roven nule aspo
                                      jeden z initel
 

                         /pouijeme substituci:

                    /dílí eení dosadíme zpt do substituce místo y

 

mnoina vech eení:  

Píklad . 3  ete rovnici  v R.

            /


                     /pouijeme substituci:
                      /funkce  je záporná ve 2. a 3. kvadrantu

                 /dílí eení dosadíme zpt do substituce místo y

 

                 /dílí eení dosadíme zpt do substituce místo y

 

mnoina vech eení:  

1.2      Grafické eení goniometrickch rovnic.

Pi grafickém eení pedstavuje kadá strana rovnice jednu funkci. Grafy obou funkcí sestrojíme v jedné soustav souadné. eením rovnice jsou x-ové souadnice prseík tchto graf.

Píklad . 1  ete graficky rovnici .

V jedné soustav souadné sestrojíme grafy funkcí: 
                                                                          

mnoina vech eení:  

Píklad . 2  ete graficky rovnici .

V jedné soustav souadné sestrojíme grafy funkcí: 
                                                                          

mnoina vech eení:  

 

Píklad . 3  ete graficky rovnici:      .

V jedné soustav souadné sestrojíme grafy funkcí: 
                                                                          

Grafy funkcí se neprotínají.

Rovnice nemá eení.
 

 

Píklad . 4  ete graficky rovnici .

V jedné soustav souadné sestrojíme grafy funkcí: 
                                                                          

mnoina vech eení: