MATEMATIKA

1.     Exponenciální rovnice

V exponenciálních rovnicích se neznámá vyskytuje v exponentu mocnin.
eíme je obvykle tak, e je pevedeme na tvar
                                             ,
kde . Vzhledem k tomu, e exponenciální funkce je prostá má tato rovnice s neznámou  jediné eení
                                              

1.1      Typy rovnic

Pro zjednoduení meme exponenciální rovnice rozdlit na ti typy:

1. typ: Neznámá se vyskytuje jen v jednom exponentu nebo ve více exponentech, piem mocniny s neznámou v exponentu se násobí nebo dlí. Ob strany rovnice se dají pevést na spolen základ.

2. typ: Neznámá se vyskytuje ve více exponentech, piem mocniny s neznámou v exponentu se sítají nebo odítají. Rovnice upravíme tak, aby v exponentu byla pouze neznámá nebo její násobky. Takto upravené rovnice eíme pomocí substituce nebo vytkáním mocniny s neznámou v exponentu.

3. typ: Ob strany rovnice se nedají pevést na spolen základ. Rovnice eíme zlogaritmováním.

1.1.1   1. typ

Píklad  Vypoítejte:

a)  ;

b) ;

c)  .

a)                                 /pevedeme na stejn základ
                              /rovnají-li se základy obou mocnin, rovnají
                                          se i jejich exponenty


 

b)                     /upravíme, aby na kadé stran rovnice
                                          byla jen jedna mocnina

                            /rovnají-li se základy obou mocnin, rovnají
                                          se i jejich exponenty


 

c)                             /pevedeme na stejn základ
                          /upravíme, aby na kadé stran rovnice
                                          byla jen jedna mocnina

                             /rovnají-li se základy obou mocnin, rovnají
                                          se i jejich exponenty


 

Porovnávat exponenty meme pouze, kdy jsou stejné základy a na kadé stran rovnice je pouze jedna mocnina!

1.1.2   2. typ

Píklad  Vypoítejte:

a)  ;

b) .

a)                   /mocninu s neznámou v exponentu zapíeme
                                          jako souin mocnin
             /vechny exponenty s neznámou se rovnají,
                                          eíme vytkáním
  

                       /
                              /pevedeme na stejn základ


 

b)                    /pevedeme na stejn základ
                 /mocninu s neznámou v exponentu
                                          zapíeme jako souin mocnin
              /exponenty s neznámou se nerovnají,
                                          pouijeme substituci



                               /oba koeny dosadíme do substituce  
                                          a uríme neznámé



                                /exponenciální funkce neme nabvat
                                          zápornch hodnot
 

1.1.3   3. typ

Píklad  Vypoítejte:

a)  ;

b) .

a)                                   / zlogaritmujeme



 

b)                              / mocninu s neznámou v exponentu
                                          zapíeme jako souin mocnin
                          /zlogaritmujeme





 

1.2      Píklady

1.2.1   Píklad . 1

ete rovnice:

a)  ;

b) ;

c)  ;

d) ;

e)  ;

f)  ;

g)  .

eení:

a)                                 /pevedeme na spolen základ

                               /rovnají-li se základy obou mocnin, rovnají
                                          se i jejich exponenty
    
 

b)                             /pevedeme na spolen základ

                               /rovnají-li se základy obou mocnin, rovnají
                                          se i jejich exponenty

 

c)                             /pevedeme na spolen základ

                             /rovnají-li se základy obou mocnin, rovnají
                                          se i jejich exponenty


 

d)                         /pevedeme na spolen základ

                     /rovnají-li se základy obou mocnin, rovnají
                                          se i jejich exponenty


 

e)           /pevedeme na spolen základ
         /rovnají-li se základy obou mocnin, rovnají
                                          se i jejich exponenty


                                /rovnice má nekonen mnoho eení

f)                            /pevedeme na spolen základ
                         /rovnají-li se základy obou mocnin, rovnají
                                          se i jejich exponenty


 

g)                                 /  a exponenciální funkce neme
                                          nabvat zápornch hodnot
                               /rovnice nemá eení

1.2.2   Píklad . 2

ete rovnice:

a)  ;

b) ;

c)  ;

d) ;

e)  .

eení:

a)               /pevedeme na spolen základ
            /upravíme, aby na kadé stran rovnice
                                          byla jen jedna mocnina
                         /rovnají-li se základy obou mocnin, rovnají
                                          se i jejich exponenty


 

b)                      /pevedeme na spolen základ
             /upravíme, aby na kadé stran rovnice
                                          byla jen jedna mocnina
                    /rovnají-li se základy obou mocnin, rovnají
                                          se i jejich exponenty


 

c)                          /pevedeme na spolen základ
                     /upravíme, aby na kadé stran rovnice byla jen jedna mocnina
                   /rovnají-li se základy obou mocnin, rovnají
                                          se i jejich exponenty




 

d)                /pevedeme na spolen základ
                 /upravíme, aby na kadé stran rovnice
                                          byla jen jedna mocnina
                         /rovnají-li se základy obou mocnin, rovnají
                                          se i jejich exponenty


 

e)                    /pevedeme na spolen základ
                 /upravíme, aby na kadé stran rovnice
                                          byla jen jedna mocnina
                    /rovnají-li se základy obou mocnin, rovnají
                                          se i jejich exponenty
           /  není ekvivalentní úprava, musíme
                                          provést zkouku

                 /
/



 

Zkouka:      
 
         /

           /
 

1.2.3   Píklad . 3

ete rovnice:

a)  ;

b) ;

c)  ;

d) .

eení:

a)                               /mocninu s neznámou v exponentu
                                                    zapíeme jako souin mocnin
                          /vechny exponenty s neznámou se
                                                    rovnají, eíme vytkáním
                           /
                                        /pevedeme na spolen základ
                                         /rovnají-li se základy obou mocnin,
                                                    rovnají se i jejich exponenty

 

b)              /mocninu s neznámou v exponentu
                                                    zapíeme jako souin mocnin
       /vechny exponenty s neznámou se
                                                    rovnají, eíme vytkáním
                  /
                            /pevedeme na spolen základ
                               /rovnají-li se základy obou mocnin,
                                          rovnají se i jejich exponenty

 

c)           /pevedeme na spolen základ
       /mocninu s neznámou v exponentu zapíeme
                                          jako souin mocnin
   /vechny exponenty s neznámou se rovnají,
                                          eíme vytkáním
              /
                               /pevedeme na spolen základ
                              /rovnají-li se základy obou mocnin, rovnají
                                          se i jejich exponenty

 

d)                / mocniny se stejnm základem pevedeme
                                          na stejnou stranu
              /mocninu s neznámou v exponentu zapíeme
                                          jako souin mocnin
         /vechny exponenty s neznámou se rovnají,
                                          eíme vytkáním
/
                            /pevedeme na spolen základ
                        /rovnají-li se základy obou mocnin, rovnají
                                          se i jejich exponenty

 

1.2.4   Píklad . 4

ete rovnice:

a)  ;

b) ;

c)  .

eení:

a)                 /pevedeme na stejn základ
                /mocninu s neznámou v exponentu zapíeme
                                          jako souin mocnin
              /exponenty s neznámou se nerovnají,
                                          pouijeme substituci
      
    
    
                                 /oba koeny dosadíme do substituce                                         a uríme neznámé
                            /exponenciální funkce neme nabvat
                                          zápornch hodnot


 

b)                      /exponenty s neznámou se nerovnají,
                                          pouijeme substituci
   
                        /
   



                                 /oba koeny dosadíme do substituce  
                                          a uríme neznámé
                                 /pevedeme na stejn základ


                                /pevedeme na stejn základ


 

c)               /mocninu s neznámou v exponentu zapíeme
                                          jako souin mocnin
     /exponenty s neznámou se nerovnají,
                                          pouijeme substituci
                   /


       

                              /oba koeny dosadíme do substituce  
                                          a uríme neznámé
                               /exponenciální funkce musí bt
                             /pevedeme na stejn základ
                             /rovnají-li se základy obou mocnin, rovnají
                                          se i jejich exponenty


 

1.2.5   Píklad . 5

ete rovnice:

a)  ;

b) ;

c)  ;

d) .

eení

a)                        /upravíme, aby na levé stran rovnice byla
                                          jen jedna mocnina
  
                              /rzné základy - zlogaritmujeme

           /roznásobíme závorku



 

b)               /mocninu s neznámou v exponentu zapíeme
                                          jako souin mocnin
           /na levé stran se exponenty s neznámou
                                          rovnají, eíme vytkáním
               
                          /rzné základy - zlogaritmujeme
        
   /pevedeme neznámou na jednu stranu
/vytkneme neznámou


 

c)           /dva rzné základy, pevedeme kad
                                                    na jednu stranu rovnice
              /exponenty s neznámou se rovnají,
                                                    eíme vytkáním
     /
                               /rzné základy  zlogaritmujeme

               /pevedeme neznámou na jednu stranu
/vytkneme neznámou
         /

 

d)                 /pevedeme na stejn základ
                /exponenty s neznámou se nerovnají,
                                          pouijeme substituci


                                 /oba koeny dosadíme do substituce  
                                          a uríme neznámé
                                 /pevedeme na stejn základ


                                 /nelze pevést na stejn základ  zlogaritmujeme