MATEMATIKA

$Mathematica$

1. Planimetrie geometrie v rovin

Základní znaky pouívané v geometrii

útvar	znak	píklad, poznámka
pímka AB
polopímka AB		poátení bod, vnitní bod
úseka AB		krajní body úseky
rovina ABC
úhel AVB		konvexní úhel do
je rovno		, body a splvají
je rzné		, bod je rzn od bodu
leí na, je prvkem		, bod leí na pímce
je podmnoinou, leí v		, pímka leí v rovin
prnik, prseík		, bod leí na prseíku pímek a
je rovnobná s
je kolmá k
trojúhelník
je podobn
je shodn
krunice		krunice se stedem a polomrem

Základními útvary jsou:

– bod znaíme velkmi písmeny ( , …);

– pímka znaíme malmi písmeny ( , …);

– rovina znaíme malmi písmeny ecké abecedy ( , …).

Pomocí tchto pojm lze definovat dalí útvary:

– polopímka má dan jeden bod jako poátek (zapisuje se jako první, rozdluje pímku na dv polopímky) a druh jako vnitní bod, kter uruje, o kterou polopímku se jedná (uruje smr);

– úseka je dána dvma krajními body, délka (velikost) úseky je vzdálenost jejích krajních bod, znaíme ji

krajní body úseky

vnitní body úseky

sted úseky, ;

– konvexní útvar jsou-li krajní body libovolné úseky vnitními body útvaru, jsou vnitními body útvaru i vechny ostatní body této úseky (celá úseka leí uvnit útvaru);

– nekonvexní útvar existuje úseka, její krajní body jsou vnitními body útvaru, ale nkter vnitní bod této úseky není vnitním bodem útvaru (ást úseky neleí uvnit útvaru);

– úhel ást roviny vymezená dvma rznobnmi pímkami, tyto pímky se nazvají ramena úhlu, jejich prseík se nazvá vrchol úhlu.

1.1 Úhel

Úhel zapisujeme písmeny ecké abecedy (nap. ) nebo pomocí tí bod (nap. ), piem první bod je bod leící na poátením rameni, druh bod je vrchol a tetí je bod leící na koncovém rameni daného úhlu.

poátení rameno úhlu

koncové rameno úhlu

vrchol úhlu

Velikost úhlu:

– základní jednotka úhlov stupe (zkrácen stupe, znaíme );

– úhlová minuta (zkrácen minuta, znaíme ) jedna edesátina stupn;

– úhlová vteina (zkrácen vteina, znaíme ) jedna edesátina minuty.

Platí:

– ;

– cel kruh (pln úhel) má velikost .

Názvy úhl vzhledem k velikosti:

nulov úhel ostr úhel prav úhel

tup úhel pím úhel pln úhel

Názvy úhl vzhledem k poloze:

1) 1 uzel

vrcholové úhly vedlejí úhly doplkové úhly styné úhly

2) 2 uzly

pilehlé úhly: a , a

(jejich souet je )

souhlasné úhly: a , a , a , a

(mají stejnou velikost)

stídavé úhly: a , a , a , a

(mají stejnou velikost)

Píklad Urete velikost danch úhl:

a) vrcholové úhly
  stídavé úhly
  souhlasné úhly

  vedlejí úhly
  pilehlé úhly
  vrcholov s úhlem

b) souhlasné úhly
  stídavé úhly
  vrcholové úhly

  vedlejí úhly
  stídav úhel s

podle Pythagorovy vty

Po patnácti minutách byli cyklisté od sebe vzdáleni 6,4 km vzdunou arou.

1.2 Trojúhelník

Znaení:

– vrcholy

– strany

– vnitní úhly ( )

– vky (kolmice sputná z vrcholu k písluné stran)

– ortocentrum (prseík vek)

– tnice (spojnice vrcholu se stedem protjí strany)

– tit (prseík tnic, rozdlí tnice v pomru 1:2)

Sted krunice opsané trojúhelníku prseík os stran

Sted krunice vepsané trojúhelníku prseík os úhl

Stední píky spojnice sted stran

Vlastnosti stedních píek:

– mají poloviní velikost ne písluná strana;

– jsou rovnobné s píslunou stranou;

– dlí trojúhelník na tyi shodné trojúhelníky.

Typy trojúhelník

1) rozdlení podle délky stran:

– rznostrann (obecn) ti rzn dlouhé strany;

– rovnoramenn dv strany shodné (ramena) a tetí rzn dlouhá (základna);

– rovnostrann ti shodné strany;

2) rozdlení podle velikosti vnitních úhl:

– ostroúhl vechny vnitní úhly jsou ostré;

– pravoúhl jeden vnitní úhel je prav;

– tupoúhl jeden vnitní úhel je tup.

Podobnost trojúhelník

Trojúhelník je podobn trojúhelníku , jestlie existuje kladné reálné íslo tak, e pro jejich strany platí:

nebo

Píeme

íslo se nazvá pomr podobnosti (vechny strany se mní ve stejném pomru):

– je-li , podobnost se nazvá zvtení;

– je-li , podobnost se nazvá zmenení;

– Je-li , jsou oba trojúhelníky shodné.

Vty o podobnosti trojúhelník

Vta uu: Dva trojúhelníky jsou podobné, shodují-li se ve dvou úhlech.

Vta sus: Dva trojúhelníky jsou podobné, shodují-li se v jednom úhlu a v pomru délek stran leících na jeho ramenech.

Vta ssu: Dva trojúhelníky jsou podobné, jestlie jsou si rovny pomry délek dvou stran a rovnají se velikosti úhl proti vtí z nich.

Vta sss: Dva trojúhelníky jsou podobné, jestlie jsou si rovny pomry délek vech tí stran.

Pythagorova vta

V kadém pravoúhlém trojúhelníku s odvsnami a peponou platí:

Pepona (nejdelí strana) pravoúhlého trojúhelníku je vdy naproti pravému úhlu.

Eukleidovy vty

odvsny

pepona

vka na peponu

úseky pepony pilehlé k odvsnám a, b

o odvsnách:

o vce:

Píklad:

Z kiovatky dvou kolmch silnic vyjeli souasn dva cyklisté, jeden po jedné silnici rychlostí 16 km za hodinu, druh po druhé rychlostí 20 km za hodinu. Urete jejich vzájemnou vzdálenost (vzdunou arou) po 15 minutách.

eení:

ze vzorce pro vpoet dráhy vypoítáme vzdálenosti , které ujeli cyklisté za

1.3 Zobrazení

Zobrazení je pravidlo, které kadému prvku z mnoiny A piazuje práv jeden prvek z mnoiny B.

Nap.: vysvdení pedmt známka

lístky do kina divák sedadlo

Zobrazení (do ásti mnoiny B)

Zobrazení (na celou mnoinu B)

1.3.1 Prosté zobrazení

Prosté zobrazení do je takové zobrazení, ve kterém má kad prvek nejve jeden vzor .

1.3.2 Shodná zobrazení v rovin

Shodné zobrazení v rovin je zobrazení, ve kterém pro kadé dva body a jejich obrazy platí .

Píklady shodnch zobrazení:

– identita

– osová soumrnost

– stedová soumrnost

– posunutí

– otoení

Osová soumrnost

Znaíme:

teme: V osové soumrnosti podle osy se trojúhelník zobrazí na trojúhelník

Píklad . 1

Na obrázku pedstavuje pímka elezniní tra. Urete, kde má bt na ní postaveno nádraí, mají-li bt náklady na vybudování pístupovch cest z míst a minimální.

chceme najít bod tak, aby souet vzdáleností byl minimální, v osové soumrnosti platí, e vzdálenost vzoru i jeho obrazu od libovolného bodu na ose je stejná, souet bude tedy nejmení, bude-li bod leet na pímce

Píklad . 2.

Urete body na hranách kuleníkového stolu tak, aby kuleníková koule po postupnch odrazech na tchto hranách narazila na kouli . Pedpokládáme, e kouli není udlena ádná fale.

Sestrojíme postupn obrazy bodu podle os procházejících hranami stol. Hledané body leí na prseících hran a spojnic bodu dotyku s obrazy bodu .

Stedová soumrnost

Znaíme:

teme: Ve stedové soumrnosti podle stedu se pímka zobrazí na pímku .

Píklad . 1

Na obrázku je dána krunice , pímka a bod . Sestrojte úseku se stedem , její koncov bod leí na pímce a bod na krunici .

sestrojíme , hledané body

Píklad . 2

V parku se na trávníku mezi dvma pímmi cestami nachází pomník (viz obr.). Bodem v blízkosti pomníku vete pím chodník , kde tak, aby bod byl jeho stedem.