-
Lineární nerovnice
-
Nerovnice s neznámou ve jmenovateli
-
Nerovnice s absolutní hodnotou
Lineární nerovnicí nazýváme takovou nerovnici, ve které se vyskytuje pouze jedna neznámá v první mocnině.
Řešit nerovnici znamená určit všechna čísla, která po dosazení za neznámé převedou nerovnici na pravdivé tvrzení. Množinu všech řešení značíme
. Většinou ji budeme zapisovat pomocí intervalu.
O nerovnici říkáme, že je v anulovaném tvaru nebo že je anulovaná, je-li její jedna strana rovna
.
Při řešení nerovnic můžeme použít následující úpravy, které nemění množinu všech řešení
.
-
Přičtení libovolného čísla k oběma stranám nerovnice
-
Odečtení libovolného čísla od obou stran nerovnice
-
Vynásobení obou stran nerovnice libovolným kladným číslem
-
Vydělení obou stran nerovnice libovolným kladným číslem
-
Vynásobení obou stran nerovnice libovolným záporným číslem (musíme převrátit znaménko nerovnosti)
-
Vydělení obou stran nerovnice libovolným záporným číslem – musíme převrátit znaménko nerovnosti
Příklad:
Řešte nerovnici v R:
Řešení
Nejdříve se zbavíme v nerovnici zlomků tak, že celou nerovnici vynásobíme společným násobkem jmenovatelů. Je třeba dát pozor na to, že mínus před zlomkem změní všechna znaménka v čitateli.
Když máme nerovnici bez zlomků a bez závorek, převedeme na jednu stranu všechny neznámé
a na druhou všechna čísla.
Když dělíme nebo násobíme nerovnici záporným číslem, musíme převrátit znaménko nerovnosti.
Mohou nastat tři možnosti řešení nerovnice.
-
Po upravení nerovnice nám vychází na jedné straně neznámá a straně druhé konkrétní číslo.
Řešením nerovnice je v tomto případě interval s krajním bodem v daném čísle.
Příklad:
-
Při úpravě z nerovnice vypadne neznámá a vychází nám pravdivé tvrzení.
Nerovnice má nekonečně mnoho řešení.
Příklad:
-
Při úpravě z nerovnice vypadne neznámá a vychází nám nepravdivé tvrzení.
Rovnice nemá řešení.
Příklad:
Když se vyskytuje neznámá ve jmenovateli, nejprve nerovnici anulujeme. Druhou stranu pak upravíme tak abychom dostali pouze jeden zlomek.
Takto upravenou nerovnici řešíme metodou nulových bodů. Nulový bod je taková hodnota neznámé, jejíž dosazením dostaneme v čitateli nebo jmenovateli hodnotu nula. Pomocí tabulky si zobrazíme, jakých hodnot nabývají výrazy po dosazení libovolných čísel z intervalů, které vznikly rozdělením číselné osy pomocí nulových bodů. Podle posledního řádku tabulky určujeme řešení nerovnice.
Příklad:
Řešte nerovnice v R:
-
-
-
-
Řešení
-
Výraz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-
Výraz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-
Výraz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-
Výraz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¨
Absolutní hodnota každého čísla je nezáporné číslo a platí:
je-li
,pak
např.
je-li
,pak
je-li
,pak
např.
Příklad:
Řešte nerovnice v R:
-
-
Řešení
-
Pro zjednodušení bereme, že nulový bod patří do obou těchto intervalů.
Výraz |
|
|
|
|
|
|
|
Nerovnici řešíme pro každý interval zvlášť a celkové řešení je pak sjednocením jednotlivých řešení.
-
Pro
nabývá absolutní hodnota záporných hodnot. Abychom se jí zbavili, vynásobíme celý výraz v absolutní hodnotě
, neboli změníme všechna znaménka v této absolutní hodnotě. Rovnice pak bude vypadat následovně:
-
Pro
nabývá absolutní hodnota kladných hodnot. Můžeme ji tedy odstranit, aniž bychom cokoliv měnili. Nerovnice pak bude vypadat následovně:
-
Výraz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-
Pro
nabývá první i druhá absolutní hodnota záporných hodnot (v obou změníme všechna znaménka).
-
Pro
nabývá první absolutní hodnota kladných hodnot a druhá absolutní hodnota záporných hodnot (změníme všechna znaménka).
-
Pro
nabývá první i druhá absolutní hodnota kladných hodnot.