MATEMATIKA
Úvod
Číselné obory
Číselné obory - př.
Poměr a úměra
Procenta
Množiny
základní pojmy
intervaly
absolutní hodnota čísla
Logika
výroky
kvantifikované výroky
Mocniny
a odmocniny
mocniny s přirozeným exponentem
mocniny s celočíselným exponentem
mocniny s racionálním exponentem
n-tá odmocnina
početní výkony s odmocninami
zápis čísla ve tvaru a.10
n
Algebraické výrazy
výrazy a mnohočleny
úpravy výrazů
lomené výrazy
Funkce
vlastnosti
lineární
kvadratické
mocninné
exponenciální
logaritmické
Rovnice
lineární
kvadratické
iracionální
exponenciální
goniometrické
logaritmus
logaritmické rovnice
Nerovnice
lineární
kvadratické
exponenciální
logaritmické
Soustavy rovnic
a nerovnic
Soustavy lineárních rovnic
Soustavy lineárních a kvadratických rovnic
Goniometrie
goniometrické funkce
Planimetrie
shodnost a podobnost trojúhelníků
Euklidovy věty
rovinné obrazce
Trigonometrie
pravoúhlý trojúhelník
obecný trojúhelník
Komplexní čísla
algebraický tvar
goniometrický tvar
Moivreova věta
kvadratické rovnice v oboru C
Posloupnosti
aritmetická posloupnost
geometrická posloupnost
Analytická
geometrie v rovině
vektory
přímka
vzájemná poloha přímek a bodů
kružnice
elipsa
parabola
hyperbola
Kombinatorika
Variace
Permutace
Kombinace
Kombinační čísla a jejich vlastnosti
Binomická věta
Pravděpodobnost
příklady
Aplikace matematiky
bankovnictví
investice
statistika
Lineární nerovnice - příklady
Příklad 1
Řešte v R nerovnice:
1
−
(
5
−
4
x
)
≤
1
−
(
5
x
+
8
)
K
=
(
−
∞
;
−
1
3
〉
6
⋅
(
x
−
5
)
≥
4
x
−
(
3
−
(
2
x
−
1
)
)
K
=
{
}
x
+
2
4
+
3
x
+
4
4
<
x
+
5
K
=
R
v
4
−
2
v
+
14
16
>
1
2
v
−
2
K
=
(
−
∞
;
3
)
8
−
2
⋅
(
2
x
+
1
)
2
≤
2
x
⋅
(
−
4
x
−
2
)
K
=
〈
3
2
;
∞
)
0,6
⋅
(
0,5
x
+
3
)
>
5
⋅
(
−
0,02
x
+
0,4
)
K
=
(
0,5
;
∞
)
8
−
6
x
2
4
≤
6
−
9
x
4
3
K
=
R
Řešení
1
−
(
5
−
4
x
)
≤
1
−
(
5
x
+
8
)
1
−
5
+
4
x
≤
1
−
5
x
−
8
−
4
+
4
x
≤
−
5
x
−
7
/
+
4
+
5
x
9
x
≤
−
3
/:9
x
≤
−
1
3
K
=
(
−
∞
;
−
1
3
〉
6
⋅
(
x
−
5
)
≥
4
x
−
(
3
−
(
2
x
−
1
)
)
/odstraníme závorky
, začneme vnitřní závorkou
6
x
−
30
≥
4
x
−
(
3
−
2
x
+
1
)
6
x
−
30
≥
4
x
−
3
+
2
x
−
1
6
x
−
30
≥
6
x
−
4
/
+
30
−
6
x
0
≥
26
/ nepravdivé tvrzení
K
=
{
}
x
+
2
4
+
3
x
+
4
4
<
x
+
5
/
⋅
4
x
+
2
+
3
x
+
4
<
4
x
+
20
4
x
+
6
<
4
x
+
20
/
−
4
x
−
6
0
<
14
/ pravdivé tvrzení
K
=
R
v
4
−
2
v
+
14
16
>
1
2
v
−
2
/
⋅
16
4
v
−
(
2
v
+
14
)
>
8
v
−
32
4
v
−
2
v
−
14
>
8
v
−
32
/
+
14
−
8
v
−
6
v
>
−
18
/
:
(
−
6
)
v
<
3
K
=
(
−
∞
;
3
)
8
−
2
⋅
(
2
x
+
1
)
2
≤
2
x
⋅
(
−
4
x
−
2
)
/ umocníme
8
−
2
⋅
(
4
x
2
+
4
x
+
1
)
≤
−
8
x
2
−
4
x
8
−
8
x
2
−
8
x
−
2
≤
−
8
x
2
−
4
x
−
8
x
2
−
8
x
+
6
≤
−
8
x
2
−
4
x
/
+
8
x
2
+
4
x
−
6
−
4
x
≤
−
6
/
:
(
−
4
)
x
≥
3
2
K
=
〈
3
2
;
∞
)
0,6
⋅
(
0,5
x
+
3
)
>
5
⋅
(
−
0,02
x
+
0,4
)
0,3
x
+
1,8
>
−
0,1
x
+
2
/
−
1,8
+
0,1
x
0,4
x
>
0,2
/
:
0,4
x
>
0,5
K
=
(
0,5
;
∞
)
8
−
6
x
2
4
≤
6
−
9
x
4
3
/
⋅
12
3
⋅
(
8
−
6
x
2
)
≤
4
⋅
(
6
−
9
x
4
)
24
−
18
x
2
≤
24
−
36
x
4
24
−
9
x
≤
24
−
9
x
/
−
24
+
9
x
0
≤
0
/ pravdivé tvrzení
K
=
R
Příklad 2 - neznámá ve jmenovateli
Řešte v R nerovnice:
3
x
x
+
2
>
3
K
=
(
−
∞
;
−
2
)
1
≤
3
−
3
x
−
1
x
K
=
(
0
;
1
〉
3
−
x
x
−
2
<
2
K
=
(
−
∞
;
2
)
∪
(
7
3
;
∞
)
x
−
4
2
x
−
3
≤
2
K
=
(
−
∞
;
2
3
〉
∪
(
3
2
;
∞
)
Řešení
3
x
x
+
2
>
3
/ nerovnici anulujeme
3
x
x
+
2
−
3
>
0
3
x
−
3
⋅
(
x
+
2
)
x
+
2
>
0
−
6
x
+
2
>
0
/ nulový bod je
x
=
−
2
Výraz
(
−
∞
;
−
2
)
−
2
(
−
2
;
∞
)
−
6
−
−
−
x
+
2
−
0
+
−
6
x
+
2
+
N
Ř
−
−
6
x
+
2
>
0,
hledáme tedy
, kde nabývá kladných hodnot
.
K
=
(
−
∞
;
−
2
)
1
≤
3
−
3
x
−
1
x
/ nerovnici anulujeme
0
≤
2
−
3
x
−
1
x
0
≤
2
x
−
3
x
+
1
x
0
≤
−
x
+
1
x
/nulové body jsou
x
=
1
a
x
=
0
Výraz
(
−
∞
;
0
)
0
(
0
;
1
)
1
(
1
;
∞
)
−
x
+
1
+
+
+
0
−
x
−
0
+
+
+
−
x
+
1
x
−
N
Ř
+
0
−
0
≤
−
x
+
1
x
,
hledáme tedy
, kde nabývá kladných nebo nulových hodnot
.
K
=
(
0
;
1
〉
3
−
x
x
−
2
<
2
/ nerovnici anulujeme
3
−
x
x
−
2
−
2
<
0
3
−
x
−
2
⋅
(
x
−
2
)
x
−
2
<
0
7
−
3
x
x
−
2
<
0
/ nulové body jsou
x
=
7
3
a
x
=
2
Výraz
(
−
∞
;
2
)
2
(
2
;
7
3
)
7
3
(
7
3
;
∞
)
7
−
3
x
+
+
+
0
−
x
−
2
−
0
+
+
+
7
−
3
x
x
−
2
−
N
Ř
+
0
−
7
−
3
x
x
−
2
<
0,
hledáme tedy
, kde nabývá záporných hodnot
.
K
=
(
−
∞
;
2
)
∪
(
7
3
;
∞
)
x
−
4
2
x
−
3
≤
2
/ nerovnici anulujeme
x
−
4
2
x
−
3
−
2
≤
0
x
−
4
−
2
⋅
(
2
x
−
3
)
2
x
−
3
≤
0
−
3
x
+
2
2
x
−
3
≤
0
/ nulové body jsou
x
=
2
3
a
x
=
3
2
Výraz
(
−
∞
;
2
3
)
2
3
(
2
3
;
3
2
)
3
2
(
3
2
;
∞
)
−
3
x
+
2
+
0
−
−
−
2
x
−
3
−
−
−
0
+
−
3
x
+
2
2
x
−
3
−
0
+
N
Ř
−
−
3
x
+
2
2
x
−
3
≤
0,
hledáme tedy
, kde nabývá záporných nebo nulových hodnot
.
,
K
=
(
−
∞
;
2
3
〉
∪
(
3
2
;
∞
)
Nerovnice s absolutní hodnotou - příklady
Příklad 3
Řešte v R nerovnice:
3
−
|
2
x
−
1
|
>
x
+
2
K
=
(
0
;
2
3
)
2
x
+
|
x
−
4
|
≤
2
K
=
(
−
∞
,
−
2
〉
3
−
2
x
>
|
2
x
−
3
|
K
=
{
}
x
−
4
+
|
2
−
3
x
|
<
0
K
=
(
−
1
;
3
2
)
Řešení
3
−
|
2
x
−
1
|
>
x
+
2
/ nulový bod absolutní hodnoty je
x
=
1
2
Výraz
(
−
∞
;
1
2
〉
1
2
〈
1
2
;
∞
)
2
x
−
1
−
0
+
Pro
x
∈
(
−
∞
,
1
2
〉
nabývá absolutní hodnota záporných hodnot (změníme všechna znaménka).
3
−
(
−
2
x
+
1
)
>
x
+
2
3
+
2
x
−
1
>
x
+
2
2
x
+
2
>
x
+
2
/
−
x
−
2
x
>
0
/ pro
x
∈
(
−
∞
,
1
2
〉
K
1
=
(
0
;
1
2
〉
Pro
x
∈
〈
1
2
,
∞
)
nabývá absolutní hodnota kladných hodnot.
3
−
(
2
x
−
1
)
>
x
+
2
3
−
2
x
+
1
>
x
+
2
−
2
x
+
4
>
x
+
2
/
−
x
−
4
−
3
x
>
−
2
/
:
(
−
3
)
musíme převrátit znaménko nerovnosti
x
<
2
3
/ pro
x
∈
〈
1
2
,
∞
)
K
2
=
〈
1
2
;
2
3
)
K
=
K
1
∪
K
2
K
=
(
0
;
2
3
)
2
x
+
|
x
−
4
|
≤
2
/ nulový bod absolutní hodnoty je
x
=
4
Výraz
(
−
∞
;
4
〉
4
〈
4
;
∞
)
x
−
4
−
0
+
Pro
x
∈
(
−
∞
,
4
〉
nabývá absolutní hodnota záporných hodnot (změníme všechna znaménka).
2
x
+
(
−
x
+
4
)
≤
2
2
x
−
x
+
4
≤
2
x
+
4
≤
2
/
−
4
x
≤
−
2
/ pro
x
∈
(
−
∞
,
4
〉
K
1
=
(
−
∞
,
−
2
〉
Pro
x
∈
〈
4,
∞
)
nabývá absolutní hodnota kladných hodnot.
2
x
+
(
x
−
4
)
≤
2
2
x
+
x
−
4
≤
2
3
x
−
4
≤
2
/+4
3
x
≤
6
/:3
x
≤
2
/ pro
x
∈
〈
4
,
∞
)
K
2
=
{
}
K
=
K
1
∪
K
2
K
=
(
−
∞
,
−
2
〉
3
−
2
x
>
|
2
x
−
3
|
/ nulový bod absolutní hodnoty je
x
=
3
2
Výraz
(
−
∞
;
3
2
〉
3
2
〈
3
2
;
∞
)
2
x
−
3
−
0
+
Pro
x
∈
(
−
∞
,
3
2
〉
nabývá absolutní hodnota záporných hodnot (změníme všechna znaménka).
3
−
2
x
>
(
−
2
x
+
3
)
3
−
2
x
>
−
2
x
+
3
/
+
2
x
−
3
0
>
0
/ pro
x
∈
(
−
∞
,
3
2
〉
nepravdivé tvrzení
K
1
=
{
}
Pro
x
∈
〈
3
2
,
∞
)
nabývá absolutní hodnota kladných hodnot.
3
−
2
x
>
(
2
x
−
3
)
3
−
2
x
>
2
x
−
3
/
−
2
x
−
3
-
4
x
>
-
6
/
:
(
−
4
)
x
<
3
2
/ pro
x
∈
〈
3
2
,
∞
)
K
2
=
{
}
K
=
K
1
∪
K
2
K
=
{
}
x
−
4
+
|
2
−
3
x
|
<
0
/ nulový bod absolutní hodnoty je
x
=
2
3
Výraz
(
−
∞
;
2
3
〉
2
3
〈
2
3
;
∞
)
2
−
3
x
+
0
−
Pro
x
∈
(
−
∞
,
2
3
〉
nabývá absolutní hodnota kladných hodnot.
x
−
4
+
(
2
−
3
x
)
<
0
−
2
x
−
2
<
0
/+2
−
2
x
<
2
/
:
(
−
2
)
x
>
−
1
/ pro
x
∈
(
−
∞
,
2
3
〉
K
1
=
(
−
1
;
2
3
〉
Pro
x
∈
〈
2
3
,
∞
)
nabývá absolutní hodnota záporných hodnot (změníme všechna znaménka).
x
−
4
+
(
−
2
+
3
x
)
<
0
4
x
−
6
<
0
/+6
4
x
<
6
/
:
4
x
<
3
2
/ pro
x
∈
〈
2
3
,
∞
)
K
2
=
〈
2
3
;
3
2
)
K
=
K
1
∪
K
2
K
=
(
−
1
;
3
2
)
Příklad 4
Řešte v R nerovnice:
|
2
−
x
|
−
|
x
+
3
|
≥
1
−
x
K
=
〈
−
4
;
−
3
〉
∪
〈
6
;
∞
)
|
x
−
1
|
−
|
x
+
2
|
=
3
K
=
(
−
∞
,
−
2
〉
|
2
x
+
1
|
+
|
2
x
−
1
|
=
3
K
=
{
−
3
4
;
3
4
}
|
3
x
+
1
|
+
|
3
−
x
|
=
3
K
=
{
}
|
x
−
1
|
+
|
x
−
2
|
=
1
K
=
〈
1
;
2
〉
Řešení
|
2
−
x
|
−
|
x
+
3
|
≥
1
−
x
/nulové body absolutních hodnot jsou
x
=
2
a
x
=
−
3
Výraz
(
−
∞
;
−
3
〉
−
3
〈
−
3
;
2
〉
2
〈
2
;
∞
)
2
−
x
+
+
+
0
−
x
+
3
−
0
+
+
+
Pro
x
∈
(
−
∞
,
−
3
〉
nabývá první absolutní hodnota kladných hodnot a druhá absolutní hodnota záporných hodnot (změníme všechna znaménka).
(
2
−
x
)
−
(
−
x
−
3
)
≥
1
−
x
2
−
x
+
x
+
3
≥
1
−
x
5
≥
1
−
x
/
+
x
−
5
x
≥
−
4
/ pro
x
∈
(
−
∞
,
−
3
〉
K
1
=
〈
−
4
;
−
3
〉
Pro
x
∈
〈
−
3,
2
〉
nabývá první i druhá absolutní hodnota kladných hodnot.
(
2
−
x
)
−
(
x
+
3
)
≥
1
−
x
2
−
x
−
x
−
3
≥
1
−
x
−
2
x
−
1
≥
1
−
x
/
+
x
+
1
−
x
≥
2
/
:
(
−
1
)
x
≤
−
2
/ pro
x
∈
〈
−
3,
2
〉
K
2
=
〈
−
3,
−
2
〉
Pro
x
∈
〈
2,
∞
)
nabývá první absolutní hodnota záporných hodnot (změníme všechna znaménka) a druhá absolutní hodnota kladných hodnot.
(
−
2
+
x
)
−
(
x
+
3
)
≥
1
−
x
−
2
+
x
−
x
−
3
≥
1
−
x
−
5
≥
1
−
x
/
+
x
+
5
x
≥
6
/ pro
x
∈
〈
2
;
∞
)
K
3
=
〈
6
;
∞
)
K
=
K
1
∪
K
2
∪
K
3
K
=
〈
−
4
;
−
3
〉
∪
〈
6
;
∞
)
|
x
−
1
|
−
|
x
+
2
|
=
3
x
−
1
=
0
⇒
první nulový bod je
x
=
1
.
Pro číslo
0
platí po dosazení do absolutní hodnoty
0
−
1
=
−
1
(záporná hodnota).
x
+
2
=
0
⇒
druhý nulový bod je
x
=
−
2
. Pro číslo
0
platí po dosazení do absolutní hodnoty
0
+
2
=
2
(kladná hodnota).
Pro
x
∈
(
−
∞
,
−
2
〉
nabývá první i druhá absolutní hodnota záporných hodnot (změníme všechna znaménka).
(
−
x
+
1
)
−
(
−
x
−
2
)
=
3
−
x
+
1
+
x
+
2
=
3
3
=
3
/ řešením jsou všechna čísla z intervalu
(
−
∞
,
−
2
〉
K
1
=
(
−
∞
,
−
2
〉
Pro
x
∈
〈
−
2,
1
〉
nabývá první absolutní hodnota záporných hodnot (změníme všechna znaménka) a druhá absolutní hodnota kladných hodnot.
(
−
x
+
1
)
−
(
x
+
2
)
=
3
−
x
+
1
−
x
−
2
=
3
−
2
x
−
1
=
3
/+1
−
2
x
=
4
/
:
(
−
2
)
x
=
−
2
/ leží v intervalu
〈
−
2,
1
〉
K
2
=
{
−
2
}
Pro
x
∈
〈
1,
∞
)
nabývá první i druhá absolutní hodnota kladných hodnot.
(
x
−
1
)
−
(
x
+
2
)
=
3
x
−
1
−
x
−
2
=
3
−
3
=
3
/ rovnice nemá řešení na intervalu
〈
1
;
∞
)
K
3
=
{
}
K
=
K
1
∪
K
2
∪
K
3
K
=
(
−
∞
,
−
2
〉
|
2
x
+
1
|
+
|
2
x
−
1
|
=
3
2
x
+
1
=
0
⇒
první nulový bod je
x
=
−
1
2
.
Pro číslo
0
platí po dosazení do absolutní hodnoty
2
⋅
0
+
1
=
1
(kladná hodnota).
2
x
−
1
=
0
⇒
druhý nulový bod je
x
=
1
2
.
Pro číslo
0
platí po dosazení do absolutní hodnoty
2
⋅
0
−
1
=
−
1
(záporná hodnota).
Pro
x
∈
(
−
∞
,
−
1
2
〉
nabývá první i druhá absolutní hodnota záporných hodnot (změníme všechna znaménka).
(
−
2
x
−
1
)
+
(
−
2
x
+
1
)
=
3
−
4
x
=
3
/
:
(
−
4
)
x
=
−
3
4
/ leží v intervalu
(
−
∞
,
−
1
2
〉
K
1
=
{
−
3
4
}
Pro
x
∈
〈
−
1
2
,
1
2
〉
nabývá první absolutní hodnota kladných hodnot a druhá absolutní hodnota záporných hodnot (změníme všechna znaménka).
(
2
x
+
1
)
+
(
−
2
x
+
1
)
=
3
2
=
3
/ rovnice nemá řešení na intervalu
〈
−
1
2
,
1
2
〉
K
2
=
{
}
Pro
x
∈
〈
1
2
,
∞
)
nabývá první i druhá absolutní hodnota kladných hodnot.
(
2
x
+
1
)
+
(
2
x
−
1
)
=
3
4
x
=
3
/
:
4
x
=
3
4
/ leží v intervalu
〈
1
2
;
∞
)
K
3
=
{
3
4
}
K
=
K
1
∪
K
2
∪
K
3
K
=
{
−
3
4
;
3
4
}
|
3
x
+
1
|
+
|
3
−
x
|
=
3
3
x
+
1
=
0
⇒
první nulový bod je
x
=
−
1
3
.
Pro číslo
0
platí po dosazení do absolutní hodnoty
3
⋅
0
+
1
=
1
(kladná hodnota).
3
−
x
=
0
⇒
druhý nulový bod je
x
=
3
.
Pro číslo
0
platí po dosazení do absolutní hodnoty
3
−
0
=
3
(kladná hodnota).
Pro
x
∈
(
−
∞
,
−
1
3
〉
nabývá první absolutní hodnota záporných hodnot (změníme všechna znaménka) a druhá absolutní hodnota kladných hodnot.
(
−
3
x
−
1
)
+
(
3
−
x
)
=
3
−
4
x
+
2
=
3
/
−
2
−
4
x
=
1
/
:
(
−
4
)
x
=
−
1
4
/ neleží v intervalu
(
−
∞
,
−
1
3
〉
K
1
=
{
}
Pro
x
∈
〈
−
1
3
,
3
〉
nabývá první i druhá absolutní hodnota kladných hodnot.
(
3
x
+
1
)
+
(
3
−
x
)
=
3
2
x
+
4
=
3
/
−
4
2
x
=
−
1
/
:
2
x
=
−
1
2
/ neleží v intervalu
〈
−
1
3
,
3
〉
K
2
=
{
}
Pro
x
∈
〈
3,
∞
)
nabývá první absolutní hodnota kladných hodnot a druhá absolutní hodnota záporných hodnot (změníme všechna znaménka).
(
3
x
+
1
)
+
(
−
3
+
x
)
=
3
4
x
−
2
=
3
/+2
4
x
=
5
/
:
4
x
=
5
4
/ neleží v intervalu
〈
3
;
∞
)
K
3
=
{
}
K
=
K
1
∪
K
2
∪
K
3
K
=
{
}
|
x
−
1
|
+
|
x
−
2
|
=
1
x
−
1
=
0
⇒
první nulový bod je
x
=
1
.
Pro číslo
0
platí po dosazení do absolutní hodnoty
0
−
1
=
−
1
(záporná hodnota).
x
−
2
=
0
⇒
druhý nulový bod je
x
=
2
.
Pro číslo
0
platí po dosazení do absolutní hodnoty
0
−
2
=
−
2
(záporná hodnota).
Pro
x
∈
(
−
∞
,
1
〉
nabývá první i druhá absolutní hodnota záporných hodnot (změníme všechna znaménka).
(
−
x
+
1
)
+
(
−
x
+
2
)
=
1
−
2
x
+
3
=
1
/
−
3
−
2
x
=
−
2
/
:
(
−
2
)
x
=
1
/ leží v intervalu
(
−
∞
,
1
〉
K
1
=
{
1
}
Pro
x
∈
〈
1,
2
〉
nabývá první absolutní hodnota kladných hodnot a druhá absolutní hodnota záporných hodnot (změníme všechna znaménka).
(
x
−
1
)
+
(
−
x
+
2
)
=
1
1
=
1
/ řešením jsou všechna čísla z intervalu
〈
1,
2
〉
K
2
=
〈
1
;
2
〉
Pro
x
∈
〈
2,
∞
)
nabývá první i druhá absolutní hodnota kladných hodnot.
(
x
−
1
)
+
(
x
−
2
)
=
1
2
x
−
3
=
1
/+3
2
x
=
4
/
:
2
x
=
2
/ leží v intervalu
〈
2
;
∞
)
K
3
=
{
2
}
K
=
K
1
∪
K
2
∪
K
3
K
=
〈
1
;
2
〉
© 2010-2012 OA a VOŠE Zlin