MATEMATIKA

1.     Kvadratické nerovnice

1.1      eení kvadratickch nerovnic pomocí grafu kvadratické funkce

Kvadratické nerovnice s neznámou  v obecném tvaru vdy nejprve anulujeme. Takto upravenou nerovnici, nap.: , kde  jsou reálná ísla, , eíme následovn:

1. Vyeíme rovnici. . Koeny této rovnice  jsou prseíky funkce  s osou . To znamená, e hodnota funkce v tchto bodech je rovna nule.

2. Nartneme parabolu a vyznaíme v nártku nulové body a hodnotu funkce v intervalech, které nám nulové body vymezují.

 

 

 

Parabola je otevená nahoru, je-li koeficient kvadratického lenu . Je-li tento koeficient záporn je parabola otevená dol. Ne zaneme eit kvadratickou nerovnici, meme ji vdy upravit tak, aby koeficient kvadratického lenu byl kladn (parabola otevená nahoru). Nesmíme zapomenout, e pi násobení nebo dlení zápornm íslem se mní znaménko nerovnosti.

3. Podle znaménka nerovnosti uríme z grafu eení dané nerovnice. Mohou nastat následující monosti:

Nerovnice	Znaménko nerovnosti	Hodnota funkce	eení
		nebo
		nebo

 

Píklad . 1  ete kvadratickou nerovnici  v R.

Uríme nulové body

 



Nartneme graf funkce a na ose  vyznaíme vechny body, pro které je hodnota funkce  (body, pro které graf leí nad osou  )

 

 

 

Vyznaené intervaly jsou eením dané nerovnice.  

Píklad . 2  ete kvadratickou nerovnici  v R.

                  / , zmní se znaménko nerovnosti
                        /takto upravenou nerovnici eíme
Uríme nulové body podle Vietovch vzorc




Nartneme graf funkce a na ose  vyznaíme vechny body, pro které je hodnota funkce  (body, pro které graf leí pod osou  )

 

 

 

Vyznaen interval je eením dané nerovnice.  

Píklad . 3  e kvadratickou nerovnici  v R.

                       /anulujeme nerovnici

Uríme nulové body



Nartneme graf funkce a na ose  vyznaíme vechny body, pro které je hodnota funkce  (body, pro které graf leí pod osou  nebo na ní)

 

 

 

Vyznaené intervaly jsou eením dané nerovnice.  

Píklad . 4  ete kvadratickou nerovnici  v R.

                 /anulujeme rovnici
                            /  zmní se znaménko nerovnosti
                                 /takto upravenou nerovnici eíme
Uríme nulové body




Nartneme graf funkce a na ose  vyznaíme vechny body, pro které je hodnota funkce  (body, pro které graf leí nad osou  nebo na ní)

 

 

 

Vyznaené intervaly jsou eením dané nerovnic:  

Píklad . 5  ete kvadratickou nerovnici  v R.

               /rovnici anulujeme
                        /

Uríme nulové body
 


Nartneme graf, podle znaménka nerovnice hledáme vechny body, pro které je hodnota funkce  (body, pro které graf leí pod osou  nebo na ní)

 

 

 

 

eením dané nerovnice je pouze bod  funkní hodnota ve vech ostatních bodech je kladná:  

Píklad . 6  ete kvadratickou nerovnici  v R.

Uríme nulové body


Diskriminant je záporn  rovnice nemá eení  graf funkce nemá ádné prseíky s osou .
To vak neznamená, e graf neexistuje, ale e cel leí nad osou .
Nartneme graf, podle znaménka nerovnice hledáme vechny body, pro které je hodnota funkce  (body, pro které graf leí nad osou  )

 

 

 

 

eením dané nerovnice jsou vechna reálná ísla:  

Píklad . 7  ete kvadratickou nerovnici  v R.

                      / , musíme zmnit znaménko nerovnice

uríme nulové body
 
Diskriminant je záporn  rovnice nemá eení  graf funkce nemá ádné prseíky s osou .
To vak neznamená, e graf neexistuje, ale e cel leí nad osou .
Nartneme graf, podle znaménka nerovnice hledáme vechny body, pro které je hodnota funkce  (body, pro které graf leí pod osou  nebo na ní)

 

 

 

 

 

Protoe pro ádn bod neleí graf funkce pod osou nebo na ní, daná nerovnice nemá eení:  

1.2      eení nerovnic metodou nulovch bod 

Píklad . 1  ete kvadratickou nerovnici  v R.

Uríme nulové body podle Vietovch vzorc




Nerovnici meme zapsat v souinovém tvaru:

Pomocí tabulky si zobrazíme, jakch hodnot nabvají vrazy po dosazení libovolnch ísel z interval, které vznikly rozdlením íselné osy pomocí nulovch bod. Podle posledního ádku tabulky urujeme eení nerovnice.

 

Vraz

 

 

 

 

 

 

 hledáme tedy, kde nabvá kladnch nebo nulovch hodnot.
 

Jak je vidt z pedchozího píkladu dají se touto metodou eit i jednoduché kvadratické nerovnice. Rychlejí je vak jejich eení pomocí grafu kvadratické funkce. Metodou nulovch bod budeme tedy eit sloitjí nerovnice.

Píklad . 2  ete nerovnici  v R.

Uríme nulové body

Podle Vietovch vzorc






Nerovnici meme zapsat v souinovém tvaru:

Pomocí tabulky si zobrazíme, jakch hodnot nabvají vrazy po dosazení libovolnch ísel z interval, které vznikly rozdlením íselné osy pomocí nulovch bod. Podle posledního ádku tabulky urujeme eení nerovnice.

 

Vraz

 

, hledáme tedy, kde nabvá kladnch nebo nulovch hodnot.
 

Píklad . 3  ete nerovnici  v R.

Uríme nulové body



  
 


Nerovnici meme zapsat v souinovém tvaru:

Pomocí tabulky si zobrazíme, jakch hodnot nabvají vrazy po dosazení libovolnch ísel z interval, které vznikly rozdlením íselné osy pomocí nulovch bod. Podle posledního ádku tabulky urujeme eení nerovnice.

Vraz

 

, hledáme tedy, kde nabvá kladnch hodnot.
 

1.3      Píklady

1.3.1   Píklad . 1

ete kvadratické nerovnice v R:

a)  ;

b) ;

c)  ;

d) ;

e)  ;

f)  ;

g)  ;

h) .

eení:

a)  uríme nulové body

 



nartneme graf funkce a na ose  vyznaíme vechny body, pro které je hodnota funkce  (body, pro které graf leí nad osou  )

 

 

 

vyznaené intervaly jsou eením dané nerovnice:  

b)               / , zmní se znaménko nerovnosti

uríme nulové body podle Vietovch vzorc




nartneme graf funkce a na ose x vyznaíme vechny body, pro které je hodnota funkce <0 (body, pro které graf leí pod osou x)

 

 

 

Vyznaen interval je eením dané nerovnice:  

c)             /anulujeme nerovnici

uríme nulové body



nartneme graf funkce a na ose  vyznaíme vechny body, pro které je hodnota funkce  (body, pro které graf leí pod osou  nebo na ní)

 

 

 

Vyznaené intervaly jsou eením dané nerovnice:  

d)                 /anulujeme nerovnici
               / , zmní se znaménko nerovnosti

uríme nulové body podle Vietovch vzorc




nartneme graf funkce a na ose vyznaíme vechny body, pro které je hodnota funkce (body, pro které graf leí nad osou nebo na ní)

 

 

Vyznaen interval je eením dané nerovnice:  

e)            /rovnici anulujeme

uríme nulové body



nartneme graf, podle znaménka nerovnice hledáme vechny body, pro které je hodnota funkce >0  (body, pro které graf leí nad osou x)

 

 

eením dané nerovnice jsou vechny body, krom bodu  , ve kterém je funkní hodnota rovna nule:  

f)                     /

uríme nulové body
 
Diskriminant je záporn  rovnice nemá eení  graf funkce nemá ádné prseíky s osou .
To vak neznamená, e graf neexistuje, ale e cel leí nad osou .
Nartneme graf, podle znaménka nerovnice hledáme vechny body, pro které je hodnota funkce  (body, pro které graf leí nad osou  nebo na ní.)

 

 

 

 

 

eením dané nerovnice jsou vechna reálná ísla:  

g)                      /anulujeme rovnici
                                 /  zmní se znaménko nerovnosti
 
uríme nulové body




nartneme graf funkce a na ose  vyznaíme vechny body, pro které je hodnota funkce >0  (body, pro které graf leí nad osou x.)

 

 

 

Vyznaené intervaly jsou eením dané nerovnice:  

h) 
                 / , musíme zmnit znaménko nerovnice

uríme nulové body
 
Diskriminant je záporn  rovnice nemá eení  graf funkce nemá ádné prseíky s osou x.
To vak neznamená, e graf neexistuje, ale e cel leí nad osou x.
Nartneme graf, podle znaménka nerovnice hledáme vechny body, pro které je hodnota funkce <0 (body, pro které graf leí pod osou x.)

 

 

 

 

Protoe pro ádn bod neleí graf funkce pod osou, daná nerovnice nemá eení:  

1.3.2   Píklad . 2

ete nerovnice v R:

a)  ;

b) ;

c)  ;

d) ;

e)  ;

f)  ;

g)  .

eení:

a)  uríme nulové body

 





nerovnici meme zapsat v souinovém tvaru:

Pomocí tabulky si zobrazíme, jakch hodnot nabvají vrazy po dosazení libovolnch ísel z interval, které vznikly rozdlením íselné osy pomocí nulovch bod. Podle posledního ádku tabulky urujeme eení nerovnice.

 

 

 

 

 

 

Vraz

 

, hledáme tedy, kde nabvá kladnch hodnot:  

b)  nerovnici meme zapsat v souinovém tvaru:

uríme nulové body



Pomocí tabulky si zobrazíme, jakch hodnot nabvají vrazy po dosazení libovolnch ísel z interval, které vznikly rozdlením íselné osy pomocí nulovch bod. Podle posledního ádku tabulky urujeme eení nerovnice.

 

Vraz

, hledáme tedy, kde nabvá kladnch nebo nulovch hodnot:  

c)  uríme nulové body




podle Vietovch vzorc




nerovnici meme zapsat v souinovém tvaru:

Pomocí tabulky si zobrazíme, jakch hodnot nabvají vrazy po dosazení libovolnch ísel z interval, které vznikly rozdlením íselné osy pomocí nulovch bod. Podle posledního ádku tabulky urujeme eení nerovnice.

 

 

Vraz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, hledáme tedy, kde nabvá zápornch hodnot:  

d)                  / , aby nebyl záporn kvadratick len,
                                          zmní se znaménko

uríme nulové body



 



nerovnici meme zapsat v souinovém tvaru:

Pomocí tabulky si zobrazíme, jakch hodnot nabvají vrazy po dosazení libovolnch ísel z interval, které vznikly rozdlením íselné osy pomocí nulovch bod. Podle posledního ádku tabulky urujeme eení nerovnice.

 

Vraz

 

, hledáme tedy, kde nabvá zápornch nebo nulovch hodnot:  

e)  uríme nulové body







podle Vietovch vzorc




nerovnici meme zapsat v souinovém tvaru:

Pomocí tabulky si zobrazíme, jakch hodnot nabvají vrazy po dosazení libovolnch ísel z interval, které vznikly rozdlením íselné osy pomocí nulovch bod. Podle posledního ádku tabulky urujeme eení nerovnice.

 

 

Vraz

 

, hledáme tedy, kde nabvá kladnch hodnot:  

f)   uríme nulové body






podle Vietovch vzorc




nerovnici meme zapsat v souinovém tvaru:

Pomocí tabulky si zobrazíme, jakch hodnot nabvají vrazy po dosazení libovolnch ísel z interval, které vznikly rozdlením íselné osy pomocí nulovch bod. Podle posledního ádku tabulky urujeme eení nerovnice.

 

Vraz

 

, hledáme tedy, kde nabvá zápornch nebo nulovch hodnot:  

g)                        /rovnici anulujeme
                /levou stranu vyjádíme jako jeden zlomek


uríme nulové body

podle Vietovch vzorc






nerovnici meme zapsat v souinovém tvaru:

Pomocí tabulky si zobrazíme, jakch hodnot nabvají vrazy po dosazení libovolnch ísel z interval, které vznikly rozdlením íselné osy pomocí nulovch bod. Podle posledního ádku tabulky urujeme eení nerovnice.

 

Vraz

 

, hledáme tedy, kde nabvá kladnch nebo nulovch hodnot: