MATEMATIKA

1.     Exponenciální nerovnice

V exponenciálních nerovnicích se neznámá vyskytuje v exponentu mocnin.
eíme je obvykle tak, e je pevedeme na tvar, kde na obou stranách nerovnice máme stejn základ nap.:
.

Dalí postup je pak závisl na velikosti základu a:

1.         V tomto pípad se jedná o funkci rostoucí a vzhledem k tomu, e je exponenciální funkce prostá má nerovnice  s neznámou  eení
 (znaménko nerovnosti se v tomto pípad nemní),

2.   V tomto pípad se jedná o funkci klesající a vzhledem k tomu, e je exponenciální funkce prostá má nerovnice  s neznámou  eení
 (znaménko nerovnosti se v tomto pípad mní).

Abychom nemuseli eit znaménko nerovnosti, je dobré vdy pevést mocniny v exponenciální nerovnici na základ vtí ne jedna.

Nap.:  

1.1     Rozdlení exponenciálních nerovnic

Pro zjednoduení meme exponenciální nerovnice rozdlit na následující typy:

1. typ: Neznámá se vyskytuje jen v jednom exponentu a ob strany nerovnice se dají pevést na spolen základ.

2. typ: Neznámá se vyskytuje ve více exponentech, piem mocniny s neznámou v exponentu se násobí nebo dlí a ob strany nerovnice se dají pevést na spolen základ.

3. typ: Neznámá se vyskytuje ve více exponentech, piem mocniny s neznámou v exponentu se sítají nebo odítají. Nerovnice upravíme tak, aby v exponentu byla pouze neznámá nebo její násobky. Takto upravené nerovnice eíme pomocí substituce nebo vytkáním mocniny s neznámou v exponentu.

1.1.1   1. typ

Píklad  Vypoítejte:

a)  ;

b) .

a)                             /pevedeme na stejn základ



 

b)                         /pevedeme na stejn základ vtí ne jedna


                               /  pi násobení nebo dlení zápornm
                                          íslem se mní znaménko

 

1.1.2   2. typ

Píklad  Vypoítejte:

a)  ;

b) .

a)             /upravíme, aby na kadé stran byla jen
                                          jedna mocnina

                    /pevedeme na stejn základ vtí ne jedna



 

b)                           /pevedeme na stejn základ
                 /upravíme, aby na kadé stran byla jen jedna mocnina

 


 

Porovnávat exponenty meme pouze, kdy jsou stejné základy a na kadé stran nerovnice je pouze jedna mocnina!

1.1.3   3. typ

Píklad  Vypoítejte:

a)  ;

b) .

a)                /mocninu s neznámou v exponentu
                                          zapíeme jako souin mocnin

            /vechny exponenty s neznámou se rovnají,
                                          eíme vytkáním

                   /
                              /pevedeme na stejn základ



 

b)         /pevedeme na stejn základ

       /pouijeme substituci




        /dosadíme do substituce  a uríme neznámé
 




 

1.2      Píklady

1.2.1   Píklad . 1

ete nerovnice:

a)  ;

b) ;

c)  ;

d) ;

e)  ;

f)  ;

g)  .

eení:

a)                     /pevedeme na spolen základ vtí ne jedna
                    /porovnáme exponenty


 

b)                  /pevedeme na spolen základ

                    /porovnáme exponenty

 

c)               /pevedeme na spolen základ vtí ne jedna

                /porovnáme exponenty




 

d)           /pevedeme na spolen základ vtí ne jedna
     /porovnáme exponenty


 

e)        /pevedeme na spolen základ vtí ne jedna
 
      /porovnáme exponenty

                          /neplatí, nerovnice nemá eení
 

f)          /pevedeme na spolen základ vtí ne jedna
 
/porovnáme exponenty

    

 

g)                     /exponenciální funkce nabvá vdy kladnch
                                 hodnot je tedy vdy
                        /nerovnice má nekonen mnoho eení

1.2.2   Píklad . 2

ete nerovnice:

a)  ;

b) ;

c)  ;

d) .

eení:

a)           /pevedeme na spolen základ
        /upravíme, aby na kadé stran nerovnice byla jen
                                 jedna mocnina
 
                 /porovnáme exponenty



 

b)            /pevedeme na spolen základ vtí ne jedna


                         /porovnáme exponenty


 

c)                         /pevedeme na spolen základ
                  /upravíme, aby na kadé stran nerovnice
                                          byla jen jedna mocnina
                 /porovnáme exponenty





 

d)       /pevedeme na spolen základ vtí ne jedna
     /upravíme, aby na kadé stran nerovnice
                                          byla jen jedna mocnina
                /porovnáme exponenty



 

1.2.3   Píklad . 3

ete nerovnice:

a)  ;

b) ;

c)  ;

d) .

eení:

a)           /mocninu s neznámou v exponentu zapíeme
                                          jako souin mocnin
              /vechny exponenty s neznámou se rovnají,
                                          eíme vytkáním
                  /
                                /pevedeme na spolen základ
                                /porovnáme exponenty

 

b)                     /zapíeme jako souin mocnin
     /eíme vytkáním

               /

                   /pevedeme na spolen základ vtí ne jedna
                              /porovnáme exponenty


 

c)                  /mocniny s neznámou v exponentu
                                          pevedeme na spolen základ
             /zapíeme jako souin mocnin
        /vechny exponenty s neznámou se rovnají,
                                          eíme vytkáním

          /
                            /pevedeme na spolen základ vtí ne jedna
                            /porovnáme exponenty


 

d)       /mocniny s neznámou zapíeme jako souin
                                          mocnin
      /eíme vytkáním
 
                      /
                           /pevedeme na spolen základ vtí ne jedna
                    /porovnáme exponenty


 

1.2.4   Píklad . 4

ete nerovnice:

a)  ;

b) ;

c)  .

eení:

a)              /mocniny pevedeme na stejn základ a
                                          zapíeme jako souin
         /pouijeme substituci
                 /exponenty s neznámou se nerovnají,


          /dosadíme do substituce  a uríme
                                          neznámé
 



 

b)                       /exponenty s neznámou se nerovnají,
                                          pouijeme substituci

                          /
     




  /dosadíme do substituce  a uríme neznámé
 





 

c)           /mocniny s neznámou v exponentu zapíeme
                                          jako souin mocnin
/ exponenty s neznámou se nerovnají,
                                          pouijeme substituci
        /


        


         /dosadíme do substituce  a uríme
                                          neznámé
                                 /nemá eení  hodnota exponenciální
                                          funkce je vdy
                              /pevedeme na stejn základ vtí ne jedna
                             /porovnáme exponenty