MATEMATIKA

1.     Komplexní ísla

Komplexní ísla znaíme , platí  .

Dvod zavedení  nkteré rovnice nemají eení v mnoin reálnch ísel.

Píklad . 1  ete rovnici v : .

 

 

nemá eení v ,  

Píklad . 2  ete rovnici v : .

 

 

 

 

 

Zdvodnní: ,  - se nazvá imaginární jednotka

1.1      Algebraick tvar

Algebraick tvar komplexního ísla je , kde

–        je reálná ást komplexního ísla,

–        je imaginární ást komplexního ísla,

–        je imaginární jednotka, platí: .

Typy komplexních ísel

 je imaginární íslo

 je reálné íslo

 je ryze imaginární íslo

 

Absolutní hodnota komplexního ísla

 

Komplexní jednotka  je komplexní íslo, jeho absolutní hodnota je rovna .

 

Komplexní íslo opané a íslo komplexn sdruené

Opané komplexní íslo  

Komplexn sdruené íslo  

Rovnost, souet, rozdíl komplexních ísel

Máme dv komplexní ísla ,  

 

 

 

Souin komplexních ísel

 

Mocniny imaginární jednotky

 

 

 

 

 

Podíl komplexních ísel

Máme dv komplexní ísla ,  

 

Grafické znázornní komplexního ísla

Komplexní íslo  je uspoádaná dvojice reálnch ísel .

Obrazem komplexního ísla  je bod roviny .

Této rovin íkáme Gaussova rovina.

Osa  je reálná osa.

Osa  je imaginární osa.

1.2      Goniometrick tvar komplexního ísla

Algebraick tvar

 

Goniometrick tvar

 

Jednotlivé ásti jsou:

Absolutní hodnota komplexního ísla:  

Úhel  se nazvá argument komplexního ísla:

–        

–        

 je obraz komplexního ísla ,  

Souin a podíl komplexních ísel v goniometrickém tvaru

 

 

Souin komplexních ísel v goniometrickém tvaru:

 

Podíl komplexních ísel v goniometrickém tvaru:

 

1.3      Moivreova vta  umocování komplexních ísel

Moivreova vta

 

Umocnní komplexního ísla :

 

1.4      eení kvadratické rovnice v C

Kvadratickou rovnici  eíme pomocí diskriminantu , je-li diskriminant , pak má kvadratická rovnice dva imaginární komplexn sdruené koeny:

                                  ,   

Píklad

ete rovnice v C:

a)  ;

b) ;

c)  ;

d) .

eení:

a) 

   

b) 

    

c) 
      
    

d)