Binomická věta
Pro každá čísla
a pro každé
platí:
-
Kombinační čísla
nazýváme binomické koeficienty a tvoří
tzv. Pascalův trojúhelník.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-
Obecný
-tý člen, stojící na
. místě binomického rozvoje, má tvar .
-
Binomický rozvoj má
členů.
-
Všimněte si třetího a šestého řádku Pascalova trojúhelníku a porovnejte se vzorci.
Příklad 1
Umocněte podle binomické věty:
Řešení
Příklad 2
Umocněte podle binomické věty:
Řešení
Příklad 3
Umocněte podle binomické věty:
Řešení
Příklad 4
Umocněte podle binomické věty:
Řešení
Příklad 5
Umocněte podle binomické a Moivreovy věty:
Řešení
-
podle binomické věty
-
podle Moivreovy věty
je algebraický tvar komplexního čísla
je goniometrický tvar komplexního čísla
Příklad 6
Umocněte podle binomické a Moivreovy věty:
Řešení
-
podle binomické věty
-
podle Moivreovy věty
Příklad 7
Určete čtvrtý člen binomického rozvoje výrazu
Řešení
čtvrtý člen:
Příklad 8
Určete jedenáctý člen binomického rozvoje výrazu
Řešení
jedenáctý člen:
Příklad 9
Určete prostřední člen binomického rozvoje výrazu
Řešení
Podle binomické věty má binomický rozvoj
členů. Prostřední člen je šestý, tzn.
, pak platí:
Příklad 10
Určete prostřední člen binomického rozvoje
Řešení
Podle binomické věty má binomický rozvoj
členů. Prostřední člen je čtvrtý, tzn.
, pak platí:
Příklad 11
Určete třetí člen binomického rozvoje výrazu:
Řešení
Příklad 12
Kolikátý člen binomického rozvoje výrazu
neobsahuje
?
Řešení
Určíme obecný člen rozvoje výrazu
:
Nemá-li tento člen obsahovat proměnnou
, musí být její exponent roven nule, takže musíme vyřešit rovnici:
, odtud
Pátý člen neobsahuje
.
Ověříme výpočtem:
Příklad 13
Kolikátý člen binomického rozvoje výrazu
je absolutní?
Řešení
Určíme obecný člen rozvoje výrazu
:
Nemá-li tento člen obsahovat proměnnou
, musí být její exponent roven nule, takže musíme vyřešit rovnici:
, odtud
Sedmý člen neobsahuje
.
Ověříme výpočtem:
Příklad 14
Kolikátý člen binomického rozvoje výrazu
obsahuje
?
Řešení
, odtud
Sedmý člen obsahuje
.
Ověříme výpočtem:
Příklad 15
Kolikátý člen binomického rozvoje výrazu
obsahuje
?
Řešení
, odtud
Čtvrtý člen obsahuje
.
Ověříme výpočtem: