MATEMATIKA

1.     Goniometrie

1.1      Velikost úhlu

Velikost úhlu v míe stupové:

–       základní jednotka v míe stupové: úhlov stupe (zkrácen stupe, znaíme  ),

–       cel kruh (pln úhel) má velikost ,

–       úhlová minuta (zkrácen minuta, znaíme  )  jedna edesátina stupn,

–       úhlová vteina (zkrácen vteina, znaíme  )  jedna edesátina minuty,

–       platí: .

Velikost úhlu v míe obloukové:

–       jednotková krunice je krunice se stedem  (vrchol úhl, které budeme na jednotkové krunici zobrazovat) a polomrem , pro pehlednost umístíme vrchol do poátku osové soustavy souadnic,

–       základní jednotka v míe obloukové: radián (znaíme  ) je stedov úhel, kter písluí na jednotkové krunici oblouku o délce , ,

–       víme-li, e míme úhly v míe obloukové, meme oznaení  vynechat.

Vztahy mezi úhly v míe stupové a míe obloukové

Délka (obvod) krunice je dána vztahem . Délka jednotkové krunice (  ) je tedy . Platí tedy, e velikost oblouku  odpovídá , anebo po zkrácení  odpovídá .

Je-li  íselná hodnota úhlu ve stupních,  íselná hodnota tého úhlu v radiánech pak vztah mezi stupovou a obloukovou mírou meme vyjádit pomocí pímé úmrnosti.

                                                 ……..        
                                                     ……..          

Pro pevod z obloukové míry do míry stupové a opan tedy platí:

     a              

Píklad . 1  Vyjádi v míe obloukové velikost úhlu :

a)  ;

b) .

a)    
Vsledek bychom mohli vyjádit také desetinnm íslem:  

b)   
Vsledek bychom mohli vyjádit také desetinnm íslem:  

Velikost úhlu v obloukové míe meme vyjádit desetinnm íslem nebo jako násobek ísla .

Píklad . 2  Vyjádi v míe stupové velikost úhlu :

a)  ;

b) .

a)     

b)     

Pro zrychlení vpot je dobré zapamatovat si nejastji pouívané hodnoty úhl v míe stupové i obloukové:

 

1.2      Orientovan úhel

Úhel, kter je uren dvma polopímkami se spolenm poátkem, z nich jedna je zvolena za poátení a druhá za koncovou, se nazvá orientovan úhel.

Orientovan úhel  znaíme  piem:

–        je poátení rameno orientovaného úhlu

–        je koncové rameno orientovaného úhlu

–        je vrchol orientovaného úhlu

Velikostí orientovaného úhlu je kadé íslo, jeho absolutní hodnota udává, o kolik radián, resp. stup se musí otoit jeho poátení rameno, aby splynulo s koncovm. Toto íslo je kladné pi otoení v kladném smyslu (proti smru pohybu hodinovch ruiek) a záporné v opaném pípad.

Poátení rameno se me otoit i nkolikrát kolem dokola (otoení o cel kruh pedstavuje otoení o  resp. o  ) ne splyne s koncovm ramenem. Tak dostáváme úhly, jejich velikost je vtí ne  resp. .

Vechny velikosti kadého orientovaného úhlu lze vyjádit ve tvaru:
                                        resp.
kde  resp.  je íslo z intervalu  resp.  a  je libovolné celé íslo.

íslo  resp.  se nazvá základní velikost orientovaného úhlu.

Píklad . 1  V pravoúhlém trojúhelníku  s pravm úhlem pi vrcholu  je dána velikost úhlu pi vrcholu , . Urete základní velikosti orientovanch úhl .

dopoítáme zbvající vnitní úhel  a nartneme trojúhelník vetn velikostí úhl a naznaení smyslu otoení

 

z obrázku meme urit velikost poadovanch úhl a jejich základní velikost  

           
        
         
             

Píklad .2  Urete základní velikosti orientovanch úhl:

a)  ;

b) ;

c)  ;

d) .

a) 

                     

b) 

               

c) 

                 

d) 

                  

1.3      Funkce sinus a kosinus

Doposud jsme mli definovány goniometrické funkce na pravoúhlém trojúhelníku, tedy pro úhly z intervalu . Pomocí jednotkové krunice meme definici rozíit pro vechny úhly.

Pro vtí pehlednost umístíme sted jednotkové krunice a souasn vrchol orientovaného úhlu o velikosti  do poátku kartézské soustavy souadnic (bod  ). Poátení rameno nech splvá s osou . Takto umístn úhel se nazvá orientovan úhel o velikosti  v základní poloze.

                                                        
                                                        
                                                          

Funkce sinus je funkce, která kadému reálnému íslu  piazuje y-ovou souadnici prseíku jednotkové krunice a koncového ramene orientovaného úhlu velikosti .

Funkce kosinus je funkce, která kadému reálnému íslu  piazuje x-ovou souadnici prseíku jednotkové krunice a koncového ramene orientovaného úhlu velikosti .

Tabulka základních hodnot

 

Poznámka:

–       hodnoty sinu a kosinu meme odvodit pro  a  z jednotkové krunice,

–       pro  a  z poloviny rovnostranného trojúhelníku s délkou strany ,

–       pro  z poloviny tverce s délkou strany .

Píklad . 1  Vypoítejte .

 

Pro lepí orientaci je vhodné vycházet z jednotkové krunice.

Z definice funkcí sinus a kosinus vyplvají následující vlastnosti:

1)  

2)  

3)        
     
Nap.: 
                

4)

Funkce

 

5) ve 2. kvadrantu:          
                                
ve 3. kvadrantu:                                     
ve 4. kvadrantu:                                    

Píklad . 2  Urete:

a)  ;

b)  °;

c)  ;

d) ;

e)  .

a)   

b)   

c)   

d)   

e)   

1.4      Grafy funkcí sinus a kosinus

Funkce sinus:

1)  periodická (hodnoty funkce se pravideln opakují) se základní periodou ,
platí nap.   
                       ;

2)  rostoucí na intervalu ,
klesající na intervalu ;

3)  má minimum v bodech ,
má maximum v bodech ;

4)  lichá (graf stedov soumrn podle poátku), platí: ;

5)  omezená zdola pímkou ,
              shora pímkou ;

6)  defininí obor         ,
obor hodnot    .

Funkce kosinus:

1)  periodická (hodnoty funkce se pravideln opakují) se základní periodou ,
platí nap.    ,
                       ;

2)  rostoucí na intervalu ,
klesající na intervalu ;

3)  má minimum v bodech ,
má maximum v bodech ;

4)  sudá (graf osov soumrn podle osy y). Platí: ;

5)  omezená zdola pímkou ,
              shora pímkou ;

6)  defininí obor         ,
obor hodnot    .

Píklad  V tée soustav souadné nartnte grafy funkcí:

a)  a ;

b)  a ;

c)  a ;

d) a .

a)

b)

c)

d)

 

Pro kadou goniometrickou funkci zapsanou v obecném tvaru  mají koeficienty  následující vznam:

–        násobí hodnotu funkce  v kadém bod,

–        uruje periodu funkce. Základní perioda pro funkce sinus a kosinus je ,

–        je posunutí po ose x o nulov bod argumentu ,

–        je posunutí po ose y.

1.5      Funkce tangens a kotangens

Funkce tangens je funkce, která kadému reálnému íslu  piazuje y-ovou souadnici prseíku koncového ramene orientovaného úhlu velikosti  (nebo jeho prodlouení) a teny k jednotkové krunici v bod .

Funkce kotangens je funkce, která kadému reálnému íslu  piazuje x-ovou souadnici prseíku koncového ramene orientovaného úhlu velikosti  (nebo jeho prodlouení) a teny k jednotkové krunici v bod .

Pomocí funkcí sinus a kosinus definujeme:
Funkci tangens pro vechna reálná ísla  rzná od lichch násobk ísla
        
Funkci kotangens pro vechna reálná ísla  rzná od sudch násobk ísla
          

 

Tabulka základních hodnot

 

Píklad . 1  Vypoítejte .

 

Z definice funkcí tangens a kotangens vyplvají následující vlastnosti:

1)   

2)                                 

Nap.:
             

3)

Funkce

 

4)  ve 2. kvadrantu:                                                  
                             
ve 3. kvadrantu:                                                    
                               
ve 4. kvadrantu:                                                 
                               

Píklad . 2  Vypoítejte:

a)  ;

b) ;

c)  ;

d) ;

e)  ;

f)  .

a)   

b)   

c)   

d)   

e)   

f)    

1.6      Grafy funkcí tangens a kotangens

Funkce tangens:

1)      periodická (hodnoty funkce se pravideln opakují) se základní periodou ,
platí nap.         ;

2)  rostoucí na intervalu ;

3)  nemá minimum ani maximum;

4)  lichá (graf stedov soumrn podle poátku). Platí: ;

5)  není omezená;

6)  defininí obor         ,
obor hodnot    .

Funkce kotangens:

1)  periodická (hodnoty funkce se pravideln opakují) se základní periodou ,
platí nap.    ;

2)  klesající na intervalu ;

3)  nemá minimum ani maximum;

4)  lichá (graf stedov soumrn podle poátku). Platí: ;

5)  není omezená ;

6)  defininí obor         ,
obor hodnot    .

Píklad  Nartni graf funkce:

a)  ;

b) ;

c)  .

a)

b)

c)

1.7      Shrnutí

Liché funkce:       sinus                   
                            tangens               
                            kotangens             

Sudá funkce:        kosinus                 

Hlavní perioda:    sinus, kosinus               …
tangens, kotangens       …  

Vztahy:                   pro
                                       pro
                                   pro
                                   pro  

Tabulka hodnot argument funkcí :

 

Pro kadou goniometrickou funkci zapsanou v obecném tvaru  mají koeficienty  následující vznam:

–        násobí hodnotu funkce  v kadém bod;

–        uruje periodu funkce. Základní perioda pro funkce sinus a
 kosinus je , pro funkce tangens a kotangens ;

–        je posunutí po ose x o nulov bod argumentu ;

–        je posunutí po ose y.