MATEMATIKA

1.     Mocninné funkce

1.1      Nepímá úmrnost

Nepímá úmrnost je kadá funkce, kterou lze vyjádit ve tvaru , kde .

Píklad . 1  Sestrojte graf funkce .

Vytvoíme tabulku pro libovolné  

Grafem nepímé úmrnosti je kivka, která se nazvá hyperbola. Skládá se ze dvou ástí (vtví):

–       pro  leí vtve hyperboly v 1. a 3. kvadrantu,

–       pro  ve 2. a 4. kvadrantu.

Vtve jsou soumrné podle bodu, kter se nazvá  sted hyperboly
(  má sted v poátku).
Stedem hyperboly procházejí pímky rovnobné s osami, které nemají s hyperbolou ádn spolen bod, ale hyperbola se k nim neomezen pibliuje. Tyto pímky se nazvají  asymptoty.

Graf funkce  prochází body . ím vtí je  tím více se oddaluje hyperbola od svého stedu.

Grafem funkce  je hyperbola se stedem  a asymptotami .

Píklad . .2  Nartnte graf funkce .

Ze zadání funkce  uríme:

 sted hyperboly  

              hyperbola leí v 1. a 3. kvadrantu
           hyperbola je od stedu vzdálena stejn jako základní
          hyperbola  od poátku

 

Píklad . 3  Nartnte graf funkce .

Ze zadání funkce  uríme:

sted hyperboly  

          hyperbola leí ve 2. a 4. kvadrantu
                   hyperbola je od stedu vzdálena stejn jako hyperbola
                 od poátku

 

Píklad .4  Nartnte graf funkce .

          /upravíme tak, aby koeficient u  byl kladn


Ze zadání funkce  uríme:

      sted hyperboly  

                     hyperbola leí ve 2. a 4. kvadrantu
                    hyperbola je od stedu vzdálena stejn jako hyperbola  
               od poátku

 

1.2      Lineární lomená funkce

Lineární lomená funkce je kadá funkce, která v celém svém defininím oboru není konstantní a kterou lze vyjádit ve tvaru
             kde  jsou reálná ísla,  

Nap.:                   je lineární lomená funkce
           není funkce lineární lomená, ale konstantní, protoe
                            .

Chceme-li nartnout graf lineární lomené funkce , pevedeme ji na tvar , jeho grafem je hyperbola se stedem . K pevedení meme pouít dva zpsoby.

Píklad  Nartnte graf funkce .

Pevedeme  na stedov tvar  

1.  dlením
  

            
 

2.  úpravou zlomku
Zlomek upravíme tak, aby v itateli byl násobek jmenovatele a zbytek. Zlomek pak rozdlíme na dva zlomky a dostaneme poadovan tvar.
Protoe je v itateli u  koeficient , upravíme itatel tak, aby obsahoval dvojnásobek jmenovatele


 

Nyní meme nartnout graf.

Ze zadání funkce  uríme:

sted hyperboly  

           hyperbola leí ve 2. a 4. Kvadrantu

       hyperbola je od stedu vzdálena stejn jako hyperbola
 od poátku

1.3      Píklady

1.3.1   Píklad . 1  nárt grafu funkce

Nartnte graf funkce:

a)  ;

b) ;

c)  ;

d) ;

e)  ;

f)  .

eení:

a)  Ze zadání funkce  uríme:

sted hyperboly  

       hyperbola leí v 1. a 3. kvadrantu

     hyperbola je od stedu vzdálena stejn jako hyperbola  od poátku

 

b)  Ze zadání funkce  uríme:

sted hyperboly  

    hyperbola leí ve 2. a 4. kvadrantu

hyperbola je od stedu vzdálena stejn jako hyperbola  od poátku

 

c)  Ze zadání funkce  uríme:

sted hyperboly  

       hyperbola leí v 1. a 3. kvadrantu

     hyperbola je od stedu vzdálena stejn jako hyperbola  od poátku

 

d)  Ze zadání funkce  uríme:

sted hyperboly  

      hyperbola leí ve 2. a 4. kvadrantu

    hyperbola je od stedu vzdálena stejn jako hyperbola  od poátku

e)  Ze zadání funkce  uríme:

sted hyperboly  (x-ovou souadnici uríme jako nulov bod jmenovatele)
Zadání funkce bychom mohli zapsat ve tvaru  

     hyperbola leí v 1. a 3. kvadrantu

hyperbola je od stedu vzdálena stejn jako hyperbola  od poátku

 

f)            /upravíme tak, aby koeficient u  byl kladn


Ze zadání funkce  uríme:

sted hyperboly  

      hyperbola leí ve 2. a 4. kvadrantu

   hyperbola je od stedu vzdálena stejn jako hyperbola  od poátku

 

1.3.2   Píklad . 2  nárt grafu funkce

Nartnte graf funkce

a)  ;

b) ;

c)  ;

d)              na intervalu ;

e)             na intervalu ;

f)               na intervalu .

eení:

a)  Pevedeme tvar  na stedov tvar

1.  Dlením
  

           
     

2.  Úpravou zlomku

 

sted hyperboly  

             hyperbola leí v 1. a 3. kvadrantu
     hyperbola je od stedu vzdálena stejn jako hyperbola  od poátku

b)  Pevedeme tvar  na stedov tvar

1.  Dlením
  

           
    

2.  Úpravou zlomku


 

sted hyperboly  

          hyperbola leí ve 2. a 4. kvadrantu
               hyperbola je od stedu vzdálena stejn jako hyperbola
            od poátku

c)  Upravíme tvar  a pevedeme ho na stedov tvar

1.  Dlením
  

             
 

2.  Úpravou zlomku


 

sted hyperboly  

      hyperbola leí ve 2. a 4. kvadrantu
          hyperbola je od stedu vzdálena stejn jako hyperbola  
            od poátku

d)  Pevedeme tvar  

1.  Dlením
  

              
 

2.  Úpravou zlomku


 

sted hyperboly
            hyperbola leí v 1. a 3. kvadrantu
                    defininí obor je  

e)  Pevedeme tvar  

1.  Dlením
  

                  

 

2.  Úpravou zlomku


 

sted hyperboly  

            hyperbola leí v 1. a 3. kvadrantu
               defininí obor je  

 

f)   Upravíme tvar  

1.  Dlením
  

          
 

2.  Úpravou zlomku

 

sted hyperboly  

          hyperbola leí ve 2. a 4. kvadrantu
               defininí obor je  

1.3.3   Píklad . 3  grafické eení rovnice

Graficky ete rovnici:

a)  ;

b) .

eení:

a)  V jedné soustav souadné sestrojíme grafy funkce dané pedpisem z levé strany rovnice, nazveme ji nap.   a funkce dané pedpisem z pravé strany rovnice, kterou nazveme nap. .

 

 

eením rovnice jsou   -ové souadnice prseík graf tchto funkcí.

 je lineární lomená funkce. Jejím grafem je hyperbola se stedem .

 je lineární funkce. Jejím grafem je pímka.

 

Rovnice má tedy dv eení


 

b)  V jedné soustav souadné sestrojíme grafy funkce dané pedpisem z levé strany rovnice, nazveme ji nap.  a funkce dané pedpisem z pravé strany rovnice, kterou nazveme nap. .

 

 

eením rovnice jsou   -ové souadnice prseík graf tchto funkcí.

 je kvadratická funkce.


Jejím grafem je parabola s vrcholem  

 je lineární lomená funkce.

Jejím grafem je hyperbola se stedem  

 

Rovnice má tedy ti eení