-
Základní pojmy
-
Vlastnosti funkcí
-
Lineární funkce
-
Lineární funkce s absolutní hodnotou
-
Kvadratická funkce
-
Převod obecného tvaru na vrcholový
Definice:
Funkce je předpis, který každému prvku
množiny
přiřazuje právě jedno reálné číslo
.
Např.:
Má-li každý žák ve třídě přiřazeno své pořadové číslo, jedná se o funkci.
Přiřadíme-li každému číslu jeho druhou mocninu, je to také funkce.
Příklad 1
Urči, jestli dané grafy zobrazují funkci:
Řešení
Na obr.1 a obr.2 jsou znázorněny funkce, každému
odpovídá jedna hodnota
. Na obr.3 není znázorněna funkce, protože hodnotě
odpovídají dvě různé hodnoty
.
Dále se budeme věnovat pouze předpisům, které přiřazují reálná čísla reálným číslům.
Nazveme-li funkci
, pak
je funkční hodnota funkce
v bodě
, zapisujeme
.
Množina všech přípustných čísel
se nazývá
definiční obor funkce
, značíme
.
Libovolné číslo
se nazývá
argument funkce
.
Množina všech čísel
, kterých může funkce
nabývat, se nazývá
obor hodnot funkce
, značíme
.
Číslo
se nazývá
hodnota funkce
.
Příklad 2
Jsou dány funkce
a
-
Určete definiční obory těchto funkcí
-
Určete funkční hodnoty v bodech
a
Řešení
-
Při určení definičního oboru vyloučíme všechna x, pro která nemají výrazy v zadání funkcí smysl.
Pro funkci
má výraz
smysl, je-li
to znamená
Definičním oborem funkce
jsou proto všechna reálná čísla, kromě čísla 1, tedy
.
Pro funkci
má výraz
smysl, je-li
to znamená
Definičním oborem funkce
jsou všechna reálná čísla, větší nebo rovna -2, tedy
-
Pro určení hodnoty funkce dosadíme dané body do zadání funkce místo proměnné
.
Funkční hodnota funkce
v bodě
:
Funkční hodnota funkce
v bodě
:
Funkční hodnota funkce
v bodě
:
Funkční hodnota funkce
v bodě
:
Způsoby zadání funkce
-
Grafem
Graf funkce
je množina všech bodů se souřadnicemi
, kde
a
. Nezávisle proměnnou
vynášíme na vodorovnou osu (osu x), funkční hodnoty na svislou osu (osu y).
Díky své názornosti se grafické zadání funkce často používá v běžném životě.
-
Funkčním předpisem
Např.:
,
Není-li při zadání funkce stanoven definiční obor, považujeme za definiční obor množinu všech reálných čísel.
-
Tabulkou
Používá se při zadání funkce s konečným počtem prvků definičního oboru.
-
Slovním popisem
Např.: Každému číslu přiřadíme jeho číslo opačné.
Přiřadíme-li každému číslu
podle nějakého předpisu právě jedno číslo
, pak množina
uspořádaných dvojic
se nazývá reálná funkce reálné proměnné.
Zapisujeme
, kde
je funkční hodnota v bodě
.
Vlastnosti:
Definiční obor
|
- množina všech přípustných čísel
|
Obor hodnot
|
- množina všech funkčních hodnot funkce
(všech
)
|
Monotónnost |
|
|
Funkce je rostoucí, jestliže pro všechna
platí, .
Hodnota funkce zleva doprava stále roste.
|
|
Funkce je klesající, jestliže pro všechna
platí,
.
Hodnota funkce z leva doprava stále klesá.
|
|
Funkce je konstantní, jestliže pro všechna
platí,
.
Graf Funkce je rovnoběžný s osou
.
|
|
Funkce je neklesající, jestliže pro všechna
platí,
.
Hodnota funkce zleva doprava roste, nebo je konstantní.
|
|
Funkce je nerostoucí, jestliže pro všechna
platí,
.
Hodnota funkce zleva doprava klesá nebo je konstantní.
|
Extrémy: |
|
Funkce má v bodě
minimum, jestliže pro všechna
platí:
.
=
-ová souřadnice bodu s nejnižší funkční hodnotou
|
|
Funkce má v bodě
maximum, jestliže pro všechna
platí:
.
=
-ová souřadnice nevyššího bodu.
|
|
Omezenost:
|
|
|
Funkce je zdola omezená, jestliže
existuje číslo
a platí:
.
K =
-ová souřadnice nejnižšího bodu.
|
|
Funkce je shora omezená, jestliže
existuje číslo
a platí:
.
=
-ová souřadnice nejvyššího bodu.
|
|
Funkce je omezená, je-li omezená shora i zdola. |
Prostá funkce: |
|
Funkce je prostá, jestliže pro všechna
platí:
.
Tzn., že libovolná rovnoběžka s osou
protne graf funkce maximálně v jednom bodě. |
|
Sudá funkce: |
|
|
Funkce jejíž
je souměrný podle počátku soustavy souřadnic ( je-li
, pak také
) se nazývá sudá, jestliže pro všechna
platí:
.
Tzn., že graf sudé funkce je osově souměrný podle osy
.
|
Lichá funkce: |
|
Funkce, jejíž
je souměrný podle počátku soustavy souřadnic (je-li
pak také
), se nazývá lichá, jestliže pro všechna
platí:
.
Tzn., že graf liché funkce je souměrný podle počátku souřadnic.
|
|
|
|
Periodická funkce |
|
|
Funkce je periodická, existuje-li takové
, že pro každé celé číslo
platí:
-
je-li funkce definována v bodě
, pak je definována také v bodech
-
pro všechna
platí:
Číslo
se nazývá perioda.
|
Lineární funkce je každá funkce, kterou lze vyjádřit ve tvaru
kde
,
jsou libovolná reálná čísla.
Grafem lineární funkce je přímka, která není rovnoběžná s osou
.
Příklad 1
Sestrojte graf funkce
a určete její definiční obor a obor hodnot.
Řešení
Protože grafem lineární funkce je přímka, potřebujeme určit alespoň dva body, kterými bude tato přímka určena.
Zvolíme si libovolné dvě hodnoty
a dosazením do zadání funkce vypočítáme příslušné hodnoty
.
Souřadnice obou bodů zapíšeme do tabulky:
Graf funkce tedy prochází body
a
Definičním oborem jsou všechna reálná čísla:
,
oborem hodnot jsou také všechna reálná čísla:
.
Pro lineární funkce bez absolutního členu tedy funkce vyjádřené ve tvaru
užíváme také název
přímá úměrnost.
(Např.:
)
Grafem přímé úměrnosti je přímka procházející bodem, který má souřadnice [0;0] (počátek soustavy souřadnic).
Je-li koeficient lineárního členu
, jedná se o funkci rostoucí.
(Např.
)
Je-li koeficient lineárního členu
, jedná se o funkci klesající.
(Např.
)
Zvláštním případem lineární funkce je
funkce konstantní
,
kde
Grafem konstantní funkce je přímka rovnoběžná s osou
.
(Např.
)
Příklad 2
Sestrojte graf funkce
a určete její definiční obor a obor hodnot.
Řešení
Pro libovolnou hodnotu
je hodnota
vždy rovna 3. Grafem tedy bude přímka procházející bodem
rovnoběžná s osou
.
Tabulka pro tuto funkci by mohla vypadat například takto:
Definičním oborem jsou všechna reálná čísla:
,
oborem hodnot je jednoprvková množina:
.
Příklad 3
V téže souřadnicové soustavě sestrojte grafy funkcí a určete jejich definiční obory a obory hodnot:
Řešení
Vytvoříme si tabulky pro dané funkce.
Definičním oborem funkce
jsou všechna reálná čísla:
.
Oborem hodnot funkce
jsou také všechna reálná čísla:
.
Definičním oborem funkce
jsou čísla větší než -3:
.
Funkční hodnota v krajním bodě
je
.
Ve všech bodech má funkce hodnotu nižší, proto jsou oborem hodnot funkce
všechna čísla menší než 4:
.
Definičním oborem funkce
jsou všechna čísla z intervalu v zadání:
.
Funkční hodnoty v krajních bodech tohoto intervalu jsou:
a
.
Ve všech bodech má funkce hodnotu mezi těmito hodnotami. Obor hodnot funkce
je tedy:
.
Pro absolutní hodnotu čísla platí:
Je-li
, pak
, je-li
, pak
.
Bod kde je absolutní hodnota rovna nule - nulový bod, rozdělí číselnou osu na dvě části (dva intervaly). V každém z těchto intervalů má funkce jiný průběh.
Graf funkce s absolutní hodnotou se proto skládá z grafů dvou funkcí.
Příklad 1
Sestrojte graf funkce
.
Řešení
Nulový bod zadané absolutní hodnoty je
, dostáváme tedy intervaly
a
.
Pro libovolné
nabývá výraz v absolutní hodnotě kladných hodnot (když dosadíme za x jakékoliv číslo z tohoto intervalu, bude v absolutní hodnotě kladné číslo).
Absolutní hodnotu odstraníme beze změn
.
Pro libovolné
nabývá výraz v absolutní hodnotě záporných hodnot (když dosadíme za x jakékoliv číslo z tohoto intervalu, bude v absolutní hodnotě záporné číslo). Absolutní hodnotu odstraníme tak, že v ní změníme všechna znaménka
.
Graf funkce
se skládá z grafů funkcí :
Příklad 2
Sestrojte graf funkce
.
Řešení
Určíme nulový bod zadané absolutní hodnoty :
.
Dostáváme tedy intervaly
a
.
Pro libovolné
nabývá výraz v absolutní hodnotě kladných hodnot (když dosadíme za x jakékoliv číslo z tohoto intervalu, bude v absolutní hodnotě kladné číslo).
Absolutní hodnotu odstraníme beze změn
Pro libovolné
nabývá výraz v absolutní hodnotě záporných hodnot (když dosadíme za x jakékoliv číslo z tohoto intervalu, bude v absolutní hodnotě záporné číslo).
Absolutní hodnotu odstraníme tak, že v ní změníme všechna znaménka
Graf funkce
se tedy skládá z grafů funkcí
,
,
Kvadratická funkce je každá funkce, kterou lze vyjádřit ve tvaru
kde
,
,
jsou libovolná reálná čísla,
(jednalo by se o funkci lineární).
Tvar
se nazývá obecný tvar kvadratické funkce.
Příklad
Sestrojte graf funkce
.
Řešení
Vytvoříme tabulku pro libovolné
|
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
9 |
4 |
1 |
0 |
1 |
4 |
9 |
Grafem kvadratické funkce je křivka, která se nazývá parabola.
Parabola je souměrná podle přímky, která se nazývá – osa paraboly.
Průsečík paraboly a její osy se nazývá vrchol paraboly (
má střed v počátku).
Změny grafu kvadratické funkce vzhledem ke grafu základní funkce
:
-
graf symetrický podle osy x,
-
šířka grafu,
-
posunutí po ose x,
-
posunutí po ose y.
1. GRAF SYMETRICKÝ PODLE OSY X
Příklad
Sestrojte graf funkce
.
Řešení
Vytvoříme tabulku pro libovolné
|
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
-9 |
-4 |
-1 |
0 |
-1 |
-4 |
-9 |
Z předchozích grafů je patrné, že když se liší funkce jen znaménkem koeficientu kvadratického členu
jsou jejich grafy symetrické podle osy x.
Pro
říkáme, že se parabola otvírá nahoru.
Pro
říkáme, že se parabola otvírá dolů.
2. ŠÍŘKA GRAFU
Příklad
V jedné soustavě souřadnic načrtněte grafy funkcí:
|
|
|
|
|
|
Řešení
Vytvoříme tabulky pro jednotlivé funkce.
|
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
9 |
4 |
1 |
0 |
1 |
4 |
9 |
|
18 |
8 |
2 |
0 |
2 |
8 |
18 |
|
3 |
|
|
0 |
|
|
3 |
|
-45 |
-20 |
-5 |
0 |
-5 |
-20 |
-45 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
Z předchozích grafů je jasně patrné, že čím větší je
,
tím je parabola užší (blíž ke své ose) .
3. POSUNUTÍ PO OSE X
Příklad
V jedné soustavě souřadnic načrtněte grafy funkcí:
Řešení
U každé závorky vypočítáme nulový bod. Získáme tak hodnotu o kolik se posunou všechny body základního grafu funkce
po ose x. Nulový bod je roven x-ové souřadnici vrcholu paraboly. Vytvoříme tabulky pro jednotlivé funkce tak, že za x volíme hodnoty kolem x-ové souřadnice vrcholu.
nulový bod
|
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
9 |
4 |
1 |
0 |
1 |
4 |
9 |
nulový bod
|
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
9 |
4 |
1 |
0 |
1 |
4 |
9 |
nulový bod
|
-9 |
-8 |
-7 |
-6 |
-5 |
-4 |
-3 |
|
9 |
4 |
1 |
0 |
1 |
4 |
9 |
4. POSUNUTÍ PO OSE Y
Příklad
V jedné soustavě souřadnic načrtněte grafy funkcí:
Řešení
Všechny funkce mají x-ovou souřadnici vrcholu rovnu
.
Vytvoříme tabulku pro jednotlivé funkce.
|
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
9 |
4 |
1 |
0 |
1 |
4 |
9 |
|
11 |
6 |
3 |
2 |
3 |
6 |
11 |
|
6 |
1 |
-2 |
-3 |
-2 |
1 |
6 |
Číslo, které leží mimo druhou mocninu, určuje hodnotu, o kolik se posunou všechny body základního grafu funkce
po ose y.
Předpis
je shodný s předpisem
a graf takto zadané funkce by se posunul o
po ose y.
Z předchozích příkladů vyplývá, že grafem funkce
,
je parabola s osou rovnoběžnou s osou y (rovnice osy
) a s vrcholem
, která se otvírá nahoru pro
a dolů pro
.
Tvar
se nazývá
vrcholový tvar kvadratické funkce.
Příklad 1
Načrtněte graf funkce:
.
Řešení
Při náčrtku nemusíme vytvářet tabulku. Pokud bychom chtěli graf sestrojit, vypadala by tabulka následovně:
|
-10 |
-9 |
-8 |
-7 |
-6 |
-5 |
-4 |
-3 |
|
|
-1 |
|
-3 |
|
-1 |
|
5 |
Příklad 2
Načrtněte graf funkce:
Řešení
Při náčrtku nemusíme vytvářet tabulku. Pokud bychom chtěli graf sestrojit, vypadala by tabulka následovně:
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
-31
|
-11 |
1
|
5 |
1
|
-11 |
Příklad 1
Určete vrcholový tvar funkce
.
Řešení
Chceme převést funkci na vrcholový tvar, tedy na tvar
.
-
Vypočítáním souřadnic vrcholu
X-ovou souřadnici vrcholu vypočítáme ze vztahu:
Y-ovou souřadnici vrcholu vypočítáme dosazením hodnoty
do předpisu funkce za
.
Vrchol má souřadnice
, tedy
.
Hodnoty
dosadíme do tvaru
.
Vrcholový tvar funkce
je tedy
.
-
Úpravou na čtverec
Postup při úpravě můžeme rozdělit do pěti kroků:
-
Vytkneme koeficient kvadratického členu
-
Lineární člen v závorce vydělíme dvěma a určíme vzorec, na který budeme upravovat
-
V závorce přičteme a odečteme absolutní člen určeného vzorce tak, abychom získaly celý vzorec
-
Závorku rozdělíme na určený vzoreček a zbytek
-
Roznásobíme závorku (oba členy)
Úprava na čtverec bude vypadat následovně:
Vrcholový tvar funkce
je tedy
.
Příklad 2
Je dána funkce
-
Určete vrcholový tvar funkce
;
-
Určete souřadnice vrcholu grafu funkce
a jeho průsečíků s osami;
-
Načrtněte graf funkce
.
Řešení
-
Kvůli procvičení určíme vrcholový tvar oběma způsoby:
-
Vypočítáním souřadnic vrcholu
Dosadíme hodnotu
do předpisu funkce za
.
Vrchol má souřadnice
.
Hodnoty
dosadíme do tvaru
.
Vrcholový tvar funkce
je tedy
.
-
Úpravou na čtverec
Vrcholový tvar funkce
je tedy
.
-
Vrchol má souřadnice
.
Průsečík s osou y:
Všechny body ležící na ose y (i hledaný průsečík)mají x-ovou souřadnici rovnu
. Pro určení průsečíku s osou y dosadíme hodnotu
do předpisu funkce za
.
Průsečík s osou y má souřadnice
.
Průsečík s osou x:
Všechny body ležící na ose x (i hledané průsečíky) mají y-ovou souřadnici rovnu
. Pro určení průsečíků s osou x dosadíme hodnotu
do předpisu funkce za
.
Vyřešíme kvadratickou rovnici
užitím Viètových vzorců
Průsečíky s osou x mají souřadnice
,
.
-