MATEMATIKA

$Mathematica$

1. Funkce exponenciální

Exponenciální funkce o základu je kadá funkce, kterou lze vyjádit ve tvaru kde je kladné íslo rzné od .

Píklad Sestrojte graf funkce .

Vytvoíme tabulku pro libovolné
Platí:

Vlastnosti:

rostoucí
prostá
rovnice asymptoty: .

Píklad Sestroj graf funkce .

Vytvoíme tabulku pro libovolné
Platí:

Vlastnosti:

klesající
prostá
rovnice asymptoty: .

Grafem exponenciální funkce je exponenciální kivka, respektive exponenciála.

Osa x je asymptotou funkce i (nemá s ní ádn spolen bod, ale funkce se k ní neomezen pibliuje).

Jestli je exponenciální funkce rostoucí nebo klesající záleí na hodnot základu funkce :

– je-li jedná se o funkci rostoucí,

– je-li jedná se o funkci klesající.

Graf kadé exponenciální funkce se stedem v poátku ( )prochází body: .

Posune-li se sted do bodu , posunou se i vechny ostatní body grafu funkce:

Speciálním pípadem exponenciální funkce je pirozená exponenciální funkce . Jejím základem je Eulerovo íslo , je iracionální íslo (íslo s neukonenm a neperiodickm desetinnm rozvojem),

Posunutí grafu exponenciální funkce:

– posunutí po ose x,

– posunutí po ose x.

1.1 Posunutí po ose x

Píklad Nartnte grafy funkcí:

a) ;

b) .

a) U kadého exponentu vypoítáme nulov bod. Získáme tak hodnotu o kolik se posunou vechny body po ose x.
Nulov bod je roven x-ové souadnici stedu .
Grafy budou procházet body

nulov bod

body grafu:

b)

nulov bod

body grafu:

1.2 Posunutí po ose y

íslo, které leí mimo mocninu, uruje hodnotu, o kolik se posunou vechny body po ose y.

Pedpis je shodn s pedpisem a graf takto zadané funkce by se posunul o po ose y.

Píklad Nartnte grafy funkcí:

a) ;

b) .

a) íslo, které leí mimo mocninu je rovno y-ové souadnici stedu .
Grafy budou procházet body

body grafu:

b)

body grafu:

Píklad Nartnte grafy funkcí:

a) ;

b) .

a)

body grafu:

b)

body grafu:

1.3 Vztahy exponenciálních funkcí

Z graf exponenciálních funkcí plynou následující vztahy:

funkce je klesající je-li , pak

mní se znaménka

funkce je rostoucí je-li , pak

nemní se znaménka

kde:                        argument exponenciální funkce
                                     základ exponenciální funkce ( )
                            hodnota exponenciální funkce v bod x

Napíklad:

Tyto vztahy je mono pouít v následujících typech píklad.

1. typ

Píklad Bez pouití kalkulátoru porovnejte následující dvojice ísel:

a) ;

b) ;

c) .

a)
funkce je rostoucí, nemní se znaménka

Grafické eení:

b) funkce je klesajíc, mní se znaménka

Grafické eení:

c)
funkce je klesající, mní se znaménka

Grafické eení:

2. typ

Píklad Urete, pro která kladná ísla platí:

a) ;

b) .

a)
             mní se znaménka, funkce je klesající

b)
                   nemní se znaménka, funkce je
                                                    rostoucí,

3.typ

Píklad Urete, které z ísel je vtí, platí-li:

a) ,

b) .

a) funkce je klesajíc, mní se znaménka

b) funkce je rostoucí, nemní se znaménka

4.typ

Píklad Urete, pro která je ve svém defininím oboru:

a) funkce klesající;

b) funkce rostoucí.

a) Funkce je klesající je-li její základ z intervalu . Musí tedy platit: a souasn
1.


2.

b) Funkce je rostoucí, je-li její základ z intervalu . Musí tedy platit:

/nulové body jsou a

Vraz

, hledáme tedy, kde nabvá kladnch hodnot.

1.4 Píklady

1.4.1 Píklad . 1 nárt graf funkcí

Nartnte grafy funkcí:

a) ;

b) ;

c) ;

d) ;

e) ;

f) .

eení:

a)

body grafu:

b)

body grafu:

c)

body grafu:

d)

body grafu:

e)

body grafu:

f) Nulov bod absolutní hodnoty rozdluje defininí obor na dva intervaly.

1. Na intervalu nabvá absolutní hodnota zápornch hodnot. Pi jejím odstranní v ní zmníme vechna znaménka.

Grafem bude ást exponenciály procházející body:

2. Na intervalu nabvá absolutní hodnota kladnch hodnot. Odstraníme ji beze zmn.

Grafem bude ást exponenciály procházející body:

1.4.2 Píklad . 2 porovnání ísel

Pomocí grafu exponenciální funkce porovnejte následující dvojice ísel:

a) ;

b) ;

c) ;

d) .

eení

a)
klesající funkce

b) rostoucí funkce

c)
rostoucí funkce

d)
klesající funkce

1.4.3 Píklad . 3

Urete, pro která kladná ísla a platí:

a) ;

b) ;

c) ;

d) .

eení:

a)
           nemní se znaménka, funkce je
                                                    rostoucí,

b)
                mní se znaménka,
                                                                      funkce je klesající,

c)
                  mní se znaménka, funkce je
                                                    klesající,

d)
                     nemní se znaménka, funkce je
                                                    rostoucí,

1.4.4 Píklad . 4 zjitní vtího ísla

Urete, které z ísel u, v je vtí, platí-li:

a) ;

b) ;

c) ;

d) ;

e) .

eení:

a)
funkce je klesajíc, mní se znaménka

b) funkce je rostoucí, nemní se znaménka

c) funkce je rostoucí, nemní se znaménka

d) funkce je klesající, mní se znaménka

e)
funkce je klesající, mní se znaménka

1.4.5 Píklad . 5 funkce rostoucí a klesající

Urete, pro která je ve svém defininím oboru:

a) funkce rostoucí;

b) funkce klesající;

c) funkce rostoucí;

d) funkce klesající;

e) funkce rostoucí;

f) funkce klesající.

eení:

a) Funkce je rostoucí, je-li její základ z intervalu . Musí tedy platit:

b) Funkce je klesající je-li její základ z intervalu . Musí tedy platit:
a souasn
1.

c) Funkce je rostoucí, je-li její základ z intervalu . Musí tedy platit:

aby byl kladn cel zlomek, musí bt

d) Funkce je klesající je-li její základ z intervalu . Musí tedy platit:
a souasn

1.
uríme nulové body

podle Vietovch vzorc

2.

uríme nulové body

e) Funkce je rostoucí, je-li její základ z intervalu . Musí tedy platit:

/nulové body jsou ,

Vraz

, hledáme tedy, kde nabvá kladnch hodnot.

f) Funkce je klesající je-li její základ z intervalu . Musí tedy platit:
a souasn

1. /nulové body jsou a

Vraz

, hledáme tedy, kde nabvá kladnch hodnot.

2.

/nulové body jsou a

Vraz

, hledáme tedy, kde nabvá zápornch hodnot.