MATEMATIKA

Investice  píklady

Statické ukazatele

Píklad . 1

Investiní náklady uvaované akce jsou K 10 000 000,. Jaká bude návratnost této akce, jsou-li odhadovány následující píjmy a vdaje. Doba ivotnosti je 50 let.

Rok provozu	Píjmy (v tis. K)	Vdaje (v tis. K)
1	1 500	1 300
2	2 400	2 100
3	2 600	1 600
4	3 000	1 700
5 a dále	3 200	1 800

ukazatelem návratnosti zjiujeme, za jaké asové období isté píjmy plynoucí z provozu investice pokryjí investiní náklady, nejdíve zjistíme isté píjmy za první 4 roky provozu

Rok provozu	Píjmy (tis. K)	Vdaje (tis. K)	isté píjmy
1	1 500	1 300	200
2	2 400	2 100	300
3	2 600	1 600	1 000
4	3 000	1 700	1 300
∑	9 500	6 700	2 800
5. rok a dále			1 400

Vypoítáme zstatek po 4 letech provozu:
10 000 000  2 800 000 = 7 200 000

 

Návratnost uvaované akce je 9,14 let. Základním poadavkem je, aby doba návratnosti byla vrazn kratí ne doba ivotnosti. Poadavek je splnn.

Píklad . 2

Investiní náklady uvaované akce jsou K 2 000 000,. Urete, jaká bude návratnost, jsou-li odhadovány následující píjmy a vdaje. Doba ivotnosti investice je 30 let.

Rok provozu	Píjmy (tis. K)	Vdaje (tis. K)	isté píjmy (tis. K)
1	300	600	300
2	500	500	0
3	500	400	100
4	600	300	300
5 a dále	600	320	280

vypoítáme zstatek po tyech letech provozu

2 000 000  100 000 = 1 900 000

 

Návratnost uvaované akce je 10,8 let. Základním poadavkem je, aby doba návratnosti byla vrazn kratí ne doba ivotnosti. Poadavek je splnn.

Píklad . 3  Rentabilita úhrnnch vloench prostedk 

V následující tabulce jsou zachyceny nkteré ukazatele firmy A ve dvou po sob následujících letech (v mil. K):

Firma A	Rok 0	Rok 1
Zisk	60	80
Celková aktiva	1000	1100
Dlouhodob majetek	400	410
Obn majetek	600	690
Obrat	1 800	1700

V roce 1 dosáhla konkurenní firma B tchto vsledk (v mil. K):

Firma B	Rok 1
Zisk	100
Celková aktiva	1400
Dlouhodob majetek	420
Obn majetek	980
Obrat	1800

Za ukazatel efektivnosti budeme povaovat rentabilitu úhrnnch vloench prostedk (tj. v podstat celkového kapitálu):

a)  jak se zmnila efektivnost firmy, jak tuto zmnu ovlivnila zmna zisku, dlouhodobého majetku a obného majetku?

b) která ze dvou firem dosáhla v roce 1 lepích vsledk, meno opt rentabilitou úhrnnch vloench prostedk, ím jsou zpsobeny rozdíly mezi firmami?

a)  zmnu efektivnosti menou rentabilitou úhrnnch vloench prostedk  zjistíme podle vzorce:

metodou etzové substituce zjistíme vliv zmny zisku, dlouhodobého majetku a obného majetku na zmnu rentability, celková aktiva rozdlíme na dlouhodob majetek  a obn majetek  a upravíme vzorec pro vpoet rentability následujícím zpsobem
 

vliv zmny zisku na rentabilitu
 
vliv zmny dlouhodobého majetku
 

vliv zmny obného majetku

Musí platit, e:  

b)  vzorec rentability úhrnnch vloench prostedk upravíme následujícím zpsobem:

zjistíme hodnoty tchto tí sloek vzorce rentability úhrnnch prostedk a porovnáme rozdíly mezi firmami
 )


 

Píklad . 4

Dv navzájem porovnatelné firmy dosáhly ve vybranch ukazatelích následujících vsledk (v mil. K):

Ukazatel	Firma A	Firma B
Zisk	30	55
Celková aktiva	310	700
Dlouhodob majetek	120	320
Obn majetek	190	380
Obrat	500	800

Která z tchto dvou firem docílila lepích vsledk, meno rentabilitou úhrnnch vloench prostedk. ím jsou zpsobeny rozdíly?

Firma A:



 

Firma B:



 

Lepích vsledk dosáhla firma A, a to pesto, e dosáhla nií obratové rentability. Rozhodujícím zpsobem jsou vsledky ovlivnny vázaností dlouhodobého a obného majetku.

Píklad . 5

Tabulka ukazuje vsledky podniku ve dvou po sob následujících letech (v mil. K):

Ukazatel	Rok 0	Rok 1
Zisk	60	72
Celková aktiva	1000	1020
Dlouhodob majetek	400	390
Obn majetek	600	630

Posute, jak se zmnila rentabilita vloench prostedk, jak tuto zmnu ovlivnila zmna zisku, dlouhodobého a obného majetku. K vpotu pouijte metodu etzové substituce.

 

 

Rentabilita vloench prostedk se zvila o 1,06 %. Nejve toto zvení ovlivnilo zvení zisku (1,2 %), mení vliv mlo sníení stavu dlouhodobého majetku (0,07 %), zvení stavu obného majetku psobilo opanm smrem (0,21 %).

Dynamické ukazatele

Píklad . 1

Dnes vloíte ve spoiteln K 6 200 K 2 % úrok. Kolik budete mít za est let?

HP vyjaduje skutenost, e peníze je vdy moné investovat a bhem asu pinesou urit vnos, uloením penz ve spoiteln je píkladem velmi jednoduché investice,v pípad, e úroky nebudeme kadm rokem vybírat, získáme i úroky z úrok vzniklch v pedchozích letech, tento zpsob se nazvá sloité úroení.

 

Budoucí hodnota dnes vloench 6 200 K po esti letech pi úrokové míe 2 % bude 6 982 K.

Píklad . 2

Na aukci mete koupit obraz neznámého malíe. Podle naeho odhadu se Vám podaí za 20 let obraz prodat za 5 mil. K. Jakou cenu mete dnes za tento obraz maximáln zaplatit, ani byste prodlali? Peníze, za které obraz koupíte, byste mohli alternativn uloit v bance na úrok 3 %.

za 20 let ode dneka dostanete 5 mil. K, pokud nechceme mít z investice ztrátu, nememe dnes za obraz zaplatit více, ne je souasná hodnota tchto 5 mil. K, proto poítáme souasnou hodnotu budoucích píjm 

 

Pokud za obraz dnes zaplatíme 2 768 378 K a za dvacet let dostaneme 5 mil. K, budeme na tom zcela stejn, jako kdybychom dnes tchto 2 768 378 K uloili do banky na 3 % úrok. Pokud bychom za obraz zaplatili více, budeme mít mení roní zisk, ne kdybychom peníze uloili do banky, a investice tak bude pro nás prodlená.  

Píklad . 3

Kad rok na konci spoíte K 10 000, na termínovaném útu s úrokem 5 % ron. Pedpokládáte roní sloené úrokování. Kolik budete mít na útu koncem estého roku?

v tomto pípad se nejedná o jednu poátení investici, ale o celou adu opakujících se vklad, pokud jsou posuzované ástky stále stejn vysoké a opakují se pravideln, jedná se o tzv. anuitu a vpoet meme urychlit pomocí tzv. stadatele

 

Budoucí hodnota anuity musí bt samozejm vdy vyí ne prost souet anuitních ástek (68 019 > 60 000).

Píklad . 4

Za pt let si chcete koupit stroj za 600 000 K. Jak velkou ástku musíte kad rok uloit, abyste po pti letech disponovali píslunou ástkou? Banka platí roní úrok 7 %.

v tomto pípad známe budoucí hodnotu anuity a potebujeme naopak vypoítat jednu anuitní ástku

 

Pokud uloíme na konci kadého roku K 104 334, na 7% úrok, budeme mít na konci pátého roku práv potebnch K 600 000,.

Píklad . 5

Podnik prodává pozemek a získal ti kupce. 1. Kupec nabízí 5 mil. K okamit v hotovosti, 2. Kupec nabízí 6 mil. K ve tech roních splátkách splatnch vdy na konci roku, 3. Kupec nabízí 10 mil. K v deseti roních splátkách, vdy na konci roku. Peníze máte monost  zhodnotit :
a) na 7% úrok
b) na 17% úrok

Kterému kupci dáte pednost?

abychom mohli ti nabízené ceny srovnat, je nutné vechny platby vyjádit k jednomu asovému okamiku, pouijeme souasnou hodnotu, co bvá v praxi nejpouívanjí zpsob

a)  pi úroku 7 %
kupec 1:
kupec 2:
kupec 3:  

pi úroku 17 %
kupec 1:
kupec 2:
kupec 3:  

Pi niím úroku dáme pednost tetímu kupci, pi vysokém úroku prvnímu kupci, nebo peváí vhodnost dívjího získání penz a jejich okamitého uloení na vysok úrok.

Píklad . 6

V pítích tyech letech dostanete vdy na konci roku tyto penní ástky. Jakou mají pro nás tyto píjmy celkovou souasnou hodnotu, pokud mete peníze investovat za 10% úrok?

Rok	Píjem v K
1	2 000
2	2 500
3	2 600
4	2 100

Píjmy jsou v kadém roce jinak vysoké, nememe pouít vpoet pro anuitu. Budeme poítat souasnou hodnotu kadé jednotlivé ástky zvlá pomocí odúroitele a tyto souasné hodnoty pak seteme.

 

Rok	Píjem v K	Souasná hodnota v K
1	2 000	1 818
2	2 500	2 066
3	2 600	1 953
4	2 100	1 434
Celkem	?	7 272

Souasná hodnota vech píjm je K 7 272,.

Píklad . 7

Do spoitelny vloíme jednorázov vklad K 10 000,. Na jakou ástku vzroste za 5 let pi úrokové sazb 1,5 %?

 

Píklad . 8

Jako ástku musíme uloit v bance dnes, abychom za ti roky mli pi úrokové sazb 2 % ástku K 15 000?

 

Píklad  9

Do banky budeme pravideln na konci roku vkládat ástku K 10 000 K (anuitu). Jakou ástku budeme mít k dispozici za 5 let pi úrokové sazb 2 %.

 

Píklad . 10

Jakou ástku musíme ke konci kadého roku uloit, abychom mli za pt let pi úrokové sazb 2 % konenou sumu K 100 000,?

 

Píklad . 11

Banka nám poskytla úvr ve vi K 100 000, na 5 let s tím, e úvr budeme splácet po dobu pti let pravidelnmi stejnmi ástkami (úmor i 10 % úrok v jedné ástce). Jaká bude ve roní splátky?

 

Píklad .12

Akciová spolenost pedpokládá, e se pokusí zajistit pravideln rst dividendy o 5 % ron. Stávající dividenda, kterou spolenost vyplácí akcionám je K 140,. Vypoítejte, jaká bude ve dividendy ve tvrtém roce.

 

Píklad . 13

Firma prodala zahraninímu odbrateli na dvoulet úvr stroj v hodnot K 860 000,. Odbratel zaplatil smnkou, kterou firma okamit eskontovala. Banka si útuje pi eskontu úrok ve vi 12 %. Vypoítejte, kolik zaplatí banka firm.

 

Ukazatele zahrnující faktor asu

Píklad . 1

Zjistte kapitálovou hodnotu akce, charakterizované píjmy a vdaji (v tis. K) uvedenmi v tabulce, pi 15 % poadovaném zhodnocení kapitálu. Je tato akce vhodná?

Rok	Píjmy	Vdaje
0	100	1 100
1	300	600
2	600	600
3	900	600
4	100	700
5	1 200	700
6	1 200	400

  

Rok		(tis. K)
0	1 000	1 000,00
1	300	260,87
2	0	0,00
3	300	197,25
4	300	171,53
5	500	248,59
6	800	345,86
Celkem		297,64

 

Vhodnjí je peníze vloit do jiné investice, protoe KH je záporná.

Píklad . 2

Co je vhodnjí:

a)  vloit 2 000 000 K do nákupu prodejny, v které jsou oekávány zisky uvedené v tabulce nebo

b) vloit peníze do jiné investice pi zhodnocení 10 %? Rozhodnte pomocí kapitálové hodnoty.

Rok	Zisk (tis. K)
2009	200
2010	300
2011	400
2012	400
2013	350
2014	200
2015	200
2016	150

eení:

Rok	(tis. K)
2008	-2 000,00
2009	181,80
2010	247,90
2011	300,50
2012	273,20
2013	217,30
2014	112,90
2015	102,60
2016	70,00
Celkem	493,70

Vhodnjí je peníze vloit do jiné investice, protoe kapitálová hodnota je záporná.

Píklad . 3  vnitní úroková míra (vnitní vnosové procento, vnitní míra vnosu)

Uvaovanou investicí bychom dosáhli v následujících letech pravdpodobn tchto píjm a vdaj:

Rok	Píjmy (tis. K)	Vdaje (tis. K)
0	0	1300
1	600	700
2	600	600
3	800	200
4	1400	700
5	1600	1100
6	1700	1200
7	1600	1000
8	1500	1400

Vypoítejte vnitní úrokovou míru uvaované investice a porovnejte její vhodnost s vkladem do banky, je-li poadované zhodnocení kapitálu 14 %.

vnitní úroková míra (VUM) je taková úroková míra, pi které se sob rovnají touto úrokovou mírou odúroené píjmy a vdaje související s uvaovanou investicí, je to tedy taková úroková míra, pi které je kapitálová hodnota uvaované investice nulová, VUM zjistíme podle vzorce

  

postup vpotu:

odhadneme vchozí hodnotu VUM
zjistíme kapitálovou hodnotu pro tuto hodnotu VUM, mohou nastat ti pípady:

KH=0, tzn. odhad je správn 

KH>0, tzn. odhad je nízk 

KH<0,tzn. odhad je vysok 

v pípad, e je odhad nízk nebo vysok, zvíme nebo snííme odhadované VUM a zjistíme znovu kapitálovou hodnotu, ostup opakujeme tak dlouho, a získáme dva takové odhady, aby u jednoho byla kapitálová hodnota kladná a u druhého záporná

lineární interpolací zjistíme skutenou hodnotu VUM

 

investice je vhodná, je-li její VUM vyí, ne je míra zhodnocení nejvhodnjí alternativní varianty, v naem píkladu 14 %

eení:

odhad vchozí hodnoty VUM = 18 %

zjitní KH pro tuto hodnotu VUM, KH= 39,8, je záporná, znamená to, e odhad je píli vysok. Snííme odhad a vpoet opakujeme

zjitní KH pro 17 %, KH =14,1, je kladná, získali jsme tedy 2 odhady, hledaná VUM bude mezi tmito dvma odhady

 

Investice je vhodná, protoe její VUM je vyí ne poadované zhodnocení 14 %.

Píklad . 4

Pomocí VUM rozhodnte, která varianta se Vám jeví jako nejvhodnjí:

a)  koup prodejny s následujícími odhadovanmi píjmy a vdaji v tis. K:

Rok	Píjmy	Vdaje
0	600	2200
1	600	600
2	700	200
3	900	200
4	1 300	600
5	1 500	1 000
6	1 600	1 000
7	1 600	1 200
8	1 600	1 300

 

b) koup autoopravny s následujícími odhadovanmi píjmy a vdaji v tis. K:

Rok	Píjmy	Vdaje
0	400	1 800
1	500	600
2	600	500
3	900	800
4	1 300	500
5	1 500	400
6	1 300	400
7	1 800	300

 

c)  zhodnocení jinm zpsobem pi 15 %.

eení:

a)

Rok
0	1600	1600
1	0	0
2	320	378,07
3	358,40	460,26
4	286,72	400,23
5	163,84	248,59
6	157,29	259,40
7	83,89	150,37
8	50,33	98,07
Celkem	179,53	394,99

 

b)

Rok
0	1400	1400
1	83,33	80,65
2	69,44	65,04
3	57,87	52,45
4	385,80	338,38
5	442,07	375,21
6	301,41	247,56
7	418,62	332,77
Celkem	191,88	69,24

 

Nejvhodnjí je varianta b), její VÚM je 22,9%. VÚM varianty a) je 21,4 %.

Píklad . 5

Máte 3 mil. K. Máte monost koupit podnik, kde získáte v následujících letech tyto zisky v tis. K:

Rok	Zisk
2009	300
2010	400
2011	500
2012	500
2013	650
2014	800
2015	1300

Jakou úrokovou míru zhodnocení by vám nkdo jin musel nabídnout, abyste radji svili investované peníze jinam?

eení:

Rok
2008	300	3 000,00	3000,00
2009	300	272,73	280,37
2010	400	330,58	349,38
2011	500	375,66	408,15
2012	500	241,51	381,45
2013	650	403,60	463,44
2014	800	451,58	533,07
2015	1300	667,11	809,57
Celkem	?	57,23	225,43

 

Musela by nám bt nabídnuta alespo úroková míra 8,8 %, abychom svili peníze jinam.

CVP analza  bod zvratu

Píklad . 1

Firma má k dispozici sledující údaje:

Fixní náklady za rok jsou K 60 000,; jednotková cena je K 20,; variabilní náklady na jednotku jsou K 10,; realizovaná produkce je 8 000 ks. Zjistte:

a)  jaké mnoství produkce je potebné k dosaení ;

b) kolik kus se musí prodat, aby byl dosaen zisk K 30 000,;

c)  jak zisk se dosáhne sníením variabilních náklad o 10 % a fixních o K 10 000,;

d) jakou prodejní cenu je nutné stanovit, aby byl dosaen zisk K 30 000, pi prodeji 8 000 kus?

eení:

a) 

K dosaení  je poteba vyrobit 6 000 kus vrobk.

b) 



Abychom dosáhli zisku K 30 000, musíme prodat 9 000 kus vrobk.

c) 


Sníením variabilních náklad o 10 % a fixních o K 10 000, dosáhneme zisku K 38 000,.

d) 


Aby byl dosaen zisk 30 000 K, prodejní cenu bychom museli zvit o K 1,25 na 1 kus.

Píklad . 2

Urete bod zvratu pro jeden vrobek:

a)  je dána nákladová funkce :

·        urete bod zvratu v kusech, je-li cena za kus 5 K;

·        urete bod zvratu v K;

·        jaké mnoství vrobk musí podnik vyrobit, aby dosáhl zisk K 43 200,;

b) cena vrobku je 5 K, poadovan zisk za období je 36 000 K, podnik je schopen vyrobit v tomto období 15 000 kus vrobk:

·        jak je limit fixních náklad, pokud jsou variabilní náklady na 1 kus K 1,40;

·        jak je limit variabilních náklad na K 1, produkce?

eení:

a) 

Dosaené vnosy uhradí náklady a zisk bude nulov pi vrob 5 000 kus.

Bod zvratu v korunách je K 25 000,.

Aby podnik dosáhl zisku K 43 200,, musí vyrobit 17 000 kus vrobk.

b) 

Limit fixních náklad je K 18 000,.

Limit variabilních náklad je K 0,28.

Píklad . 3

Vypoítejte Q_k pi fixních nákladech K 100 000, ron, pi jednotkové cen K 16, a variabilních náklad na jednotku K 6,. Vypotené mnoství porovnejte s vrobní kapacitou, která je 25 000 kus za rok (i v %).

eení:

 

 

Bod zvratu je na úrovni 10 000 kus vyrobench vrobk.

Bod zvratu je na úrovni 40 % vrobní kapacity.

Píklad . 4

Podnik vyrobil dva druhy vrobk za tchto podmínek:

Vrobek	Vyrobené mnoství v tunách	Variabilní náklady na jednotku v K	Celkové fixní náklady v K na vrobu	Cena za 1 tunu v K
C	400	5	?	6
D	600	3	?	5
Celkem	?	?	1 000	?

 

Vypotte:

a)  pi jakém objemu v tunách i v K dosáhne podnik bodu zvratu;

b) pi jakém objemu vroby v tunách i v K dosáhne podnik zisku K 1 200,.

eení:

a) 







Bod zvratu odpovídá objemu 375 tun vrobku D a 250 tun vrobku C.

a) 






Zisku 1 200 K dosáhne podnik pi objemu vroby 550 tun vrobku C a 825 tun vrobku D. V korunách je to 7 425 K.

Píklad . 5

Vypoítejte, pi kterém objemu vroby dosáhne podnik bodu zvratu a kolik toho musí vyrobit, aby dosáhl zisku K 2 000,.

Vrobek	Mnoství v kusech	Variabilní náklady na  1 ks v K	Fixní náklady v K	Cena na 1 kus
A	500	2	?	5
B	300	4	?	5
Celkem	?	?	1 000	?

eení:

 

Bod zvratu odpovídá objemu 278 kus vrobk A a 167 kus vrobk B.

Zisku K 2 000, podnik dosáhne pi objemu 833 kus vrobk A a 500 kus vrobk B.