MATEMATIKA

1.     Vektorová algebra

Délka úseky:
délka úseky : ;
 

Sted úseky:
sted  úseky : ;
souadnice stedu úseky:  

1.1      Vektor

Mnoinu vech souhlasn orientovanch rovnobnch úseek tée délky nazváme vektor.

Umístní vektoru :
 

Souadnice vektoru  :
 

Vpoet souadnic vektoru :

 

Velikost vektoru :
 

Opan vektor k vektoru :
 

Násobení vektoru  reálnm íslem :
 

Vektory, které leí na tée pímce nebo rovnobnch pímkách nazváme kolineární vektory.

Máme-li dva vektory ,  musí bt splnna podmínka kolineárnosti:

, kde ;
;
;
.

1.2      Operace s vektory

Pro dva vektory  platí:

Souet vektor:
 

Rozdíl vektor:
 

Skalární souin vektor:

pokud se skalární souin rovná nule, pak jsou vektory na sebe kolmé.

Velikost úhlu vektor:
 

2.     Pímka

Parametrické vyjádení pímky:

–       ; kde ;

–       pímka je urena smrovm vektorem ;

–       pímka prochází bodem .

Obecná rovnice pímky:

–       ;

–       pímka prochází bodem ;

–       pímka je urena normálovm vektorem .

Smrnicov tvar rovnice pímky:

–       , kde  je smrnice pímky,
 je úsek, kter pímka vytíná na ose ;

–       pímka prochází bodem ;

–        je smrov vektor pímky;

–       platí: ,  je smrov vektor pímky.

2.1      Metrické vlastnosti

Vzdálenost bodu od pímky:

–       vzdálenost bodu  a pímky , která je urena obecnou rovnicí ;

–       , kde .

Odchylka dvou pímek

–       odchylka dvou pímek je velikost ostrého nebo pravého úhlu, kter pímky svírají;

–       odchylku uríme ze vztahu , kde  jsou smrové nebo normálové vektory danch pímek.

 

Vzájemná poloha dvou pímek

Pímky	Parametrické vyjádení	Obecná rovnice
Rovnobné	, kde         splvající rovnobky       nesplvající rovnobky	, kde         splvající rovnobky     nesplvající rovnobky
Rznobné	kolmé pímky	kolmé pímky

 

Poznámka:

–       soustava rovnic splvajících rovnobek má nekonen mnoho eení;

–       soustava rovnic nesplvajících rovnobek nemá eení;

–       soustava rovnic rznobnch pímek má práv jedno eení, eení je rovno souadnicím prseíku.

3.     Kueloseky

3.1      Krunice

Stedová rovnice (  je polomr krunice):

–        pro  

–        pro  

Obecná rovnice:

–        

3.2      Elipsa

Stedová rovnice:

–       hlavní osa  je rovnobná s osou :

§   pro  

§   pro  

–       hlavní osa  je rovnobná s osou :

§   pro  

§   pro  

–       a je délka hlavní poloosy
b je délka vedlejí poloosy
platí:  

–        je excentricita, ohnisková vzdálenost
platí:  

Obecná rovnice:

–        

–      platí:  

3.3      Hyperbola

Stedová rovnice:

–       hlavní osa  je rovnobná s osou :

§   pro  

§   pro  

§  rovnice asymptot:  

–       hlavní osa  je rovnobná s osou :

§   pro  

§   pro  

§  rovnice asymptot:  

§  a je délka hlavní poloosy
b je délka vedlejí poloosy
platí:  

§   je excentricita, ohnisková vzdálenost
platí:  

Obecná rovnice:

–        

–      platí:  

3.4      Parabola

Vrcholová rovnice:

–        pro
 pro
rovnice ídící pímky  

–        pro  

–        pro
rovnice ídící pímky  

–        pro
 pro
rovnice ídící pímky  

–        pro
 pro
rovnice ídící pímky  

Obecná rovnice:

–       , platí:  

–       , platí :