MATEMATIKA

Integrate Result







Variace bez opakování

Definice učitele:
k -členná variace z prvků je uspořádaná k -tice sestavená z těchto prvků tak, že každý prvek se v ní vyskytuje nejvýše jednou.
Zapisujeme:
V( k,n )=n.( n1 ).( n2 )...( nk+1 ) a platí kn
Zápis V( k,n ) čteme jako: variace k -té třídy z n prvků.
Definice žáka:
Pomocí variací sestavuji tzv. k -tice. To jsou dvojice, trojice, čtveřice atd. Tyto k -tice sestavuji z celkového počtu prvků, který označuji n . Každý prvek se vyskytuje nejvýše jednou, tedy záleží na pořadí prvků.


Příklad 1
Mezi 5 studentů mají být rozděleny ceny za matematického klokana. Kolik je možností udělení:
  1. první ceny
  2. první a druhé ceny
  3. prvních tří cen
  4. prvních čtyř cen
  5. prvních pěti cen
Řešení
  1. V( 1,5 )=5 , výsledek je 5 , mám jednu cenu a pět studentů, takže pět možností


  2. V( 2,5 )=54=20


  3. V( 3,5 )=543=60


  4. V( 4,5 )=5432=120


  5. V( 5,5 )=54321=120

Příklad 2
Kolik trojmístných přirozených čísel můžeme vytvořit z číslic
  1. 1, 2, 3, 4, 5 ,
  2. 0,1, 2, 3, 4 ,
jestliže se žádná číslice v čísle neopakuje.
Řešení
  1. Tvoříme uspořádané trojice z pěti prvků. k=3, n=5 V( 3,5 )=543=60


  2. Tvoříme opět uspořádané trojice z pěti prvků, ale od celkového počtu trojciferných čísel musíme odečíst zápisy, které začínají nulou. Nejedná se totiž o trojciferná čísla. V( 3,5 )V( 2,4 )=6043=48

Příklad 3
Třída 2. C má celkem 11 předmětů. Kolika způsoby lze sestavit rozvrh na jeden den, vyučuje-li se tento den 6 různých předmětů?
Řešení
Tvoříme šestice z jedenácti prvků, k=6, n=11 .

V( 6,11 )=11109876=332 640


Příklad 4
Ve třídě je 26 dívek a 4 chlapci. Určete:
  1. kolika způsoby lze vybrat předsedu, jeho zástupce, pokladníka a nástěnkáře.
  2. kolika způsoby lze vybrat funkci tak, aby předseda byl chlapec a zástupce dívka nebo obráceně.
Řešení
  1. Tvořím čtveřice (předseda, zástupce, pokladník, nástěnkář) z celkového počtu třiceti studentů, k=4, n=30 .
    V( 4,30 )=30292827=657 720


  2. Tvoříme opět čtveřice, ale pozor na podmínky. Nejdříve vybereme jednoho chlapce ze 4 , pak jednu dívku z 26 a zbývající dvě funkce vybíráme z 28 zbylých studentů.
    V( 1,4 )V( 1,26 )V( 2,28 )=4262827=78 624
    Tento počet však musíme vynásobit dvěma, protože funkce mohou být obsazeny obráceně, celkový výsledek je 157 248 .

Příklad 5
Počet čtyř členných variací je trojnásobkem počtu trojčlenných variací z téže množiny prvků. Kolik prvků má tato množina?
Řešení
Sestavíme rovnici

V( 4,n )=3V( 3,n )

provedeme rozložení

n( n1 )( n2 )( n3 )=3n( n1 )( n2 )

po úpravě dostáváme

n=6

Množina obsahuje šest prvků. Provedeme zkoušku, dosadíme do původního zadání za n .


Příklad 6
Z kolika různých prvků můžeme vytvořit devadesát dvojčlenných variací?
Řešení
Sestavíme rovnici

V( 2,n )=90

rozložíme

n( n1 )=90

řešíme kvadratickou rovnici

n 2 n90=0

kořeny n 1,2 =10, -9

Prvků je deset. Počet prvků nemůže být záporné číslo. Provedu zkoušku, dosadím do původního zadání za n .


Příklad 7
Zvětší-li se počet prvků o tři, zvětší se počet trojčlenných variací o 384 . Jaký byl původně počet prvků?
Řešení
Sestavíme rovnici

V( 3,n )+384=V( 3,n+3 )

rozložíme

n( n1 )( n2 )+384=( n+3 )( n+2 )( n+1 )

upravíme a dostáváme kvadratickou rovnici

n 2 +n42=0

kořeny n 1,2 =7, 6

Původní počet prvků byl šest. Počet prvků nemůže být záporné číslo. Provedu zkoušku, dosadím do původního zadaná za n .


Příklad 8
Řešte rovnici V( 2,x6 )=20
Řešení
Rozložím

( x6 )( x7 )=20

upravím na kvadratickou rovnici

x 2 13x+22=0

kořeny x 1,2 =2, 11

Provedu zkoušku, dosadím do původního zadání za x . Výsledek x=6 .


Příklad 9
Kolik různých přirozených čísel větších než 500 lze sestavit z číslic 0, 1, 7, 8, 9 tak, že se žádná číslice neopakuje?
Řešení
Řešení má tři části, z číslic 0, 1, 7, 8, 9 mohu sestavit:
  1. trojciferná čísla větší než 500
    trojciferná čísla musí začínat 7, 8, 9 zbytek čísla vytvořím jako variace druhé třídy ze čtyř prvků
    3V( 2,4 )=343=36


  2. čtyřciferná čísla (všechna jsou větší než 500 )
    čtyřciferná čísla nesmí začínat nulou, těchto zápisů je V( 3,4 )=432=24
    celkový počet všech zápisů čtyřciferného čísla je V( 4,5 )=5432=120
    celkový počet jen čtyřciferných čísel je 12024=96


  3. pěticiferná čísla (všechna jsou větší než 500 )
    celkový počet zápisů pěticiferného čísla je V( 5,5 )=54321=120
    pěticiferné číslo nesmí začínat nulou těchto zápisů je V( 4,4 )=4321=24
    celkový počet pěticiferných čísel je 12024=96
Konečný výsledek je 36+96+96=228


Příklad 10
Výbor sportovního klubu tvoří šest mužů a čtyři ženy. Určete:
  1. kolika způsoby z nich lze vybrat předsedu, místopředsedu, jednatele a hospodáře?
  2. kolika způsoby z nich lze vybrat funkcionáře podle a) tak, aby ve funkci předsedy byl muž a ve funkci místopředsedy žena nebo obráceně?
  3. kolika způsoby z nich lze vybrat funkcionáře podle a) tak, aby právě jedním z nich byla žena?
Řešení
  1. tvořím variace čtvrté třídy z deseti prvků V( 4,10 )=10987=5 040


  2. předseda je muž V( 1,6 )=6
    místopředseda je žena V( 1,4 )=4
    výběr ostatních pozic V( 2,8 )=87=56
    výpočet 6456=1344 tento počet násobím dvěma (předseda žena, místopředseda muž), výsledek je 2688 .


  3. V( 1,4 )V( 3,6 )=4654=480 tento počet násobím čtyřikrát, výsledek je 1 920 .


© 2010-2011 Petr Bělaška