Variace bez opakování
Definice učitele:
-členná variace z prvků je uspořádaná
-tice sestavená z těchto prvků tak, že každý prvek se v ní vyskytuje nejvýše jednou.
Zapisujeme:
a platí
Zápis
čteme jako: variace
-té třídy z
prvků.
Definice žáka:
Pomocí variací sestavuji tzv.
-tice. To jsou dvojice, trojice, čtveřice atd. Tyto
-tice sestavuji z celkového počtu prvků, který označuji
. Každý prvek se vyskytuje nejvýše jednou, tedy záleží na pořadí prvků.
Příklad 1
Mezi 5 studentů mají být rozděleny ceny za matematického klokana. Kolik je možností udělení:
-
první ceny
-
první a druhé ceny
-
prvních tří cen
-
prvních čtyř cen
-
prvních pěti cen
Řešení
-
, výsledek je
, mám jednu cenu a pět studentů, takže pět možností
-
-
-
-
Příklad 2
Kolik trojmístných přirozených čísel můžeme vytvořit z číslic
-
,
-
,
jestliže se žádná číslice v čísle neopakuje.
Řešení
-
Tvoříme uspořádané trojice z pěti prvků.
-
Tvoříme opět uspořádané trojice z pěti prvků, ale od celkového počtu trojciferných čísel musíme odečíst zápisy, které začínají nulou. Nejedná se totiž o trojciferná čísla.
Příklad 3
Třída
má celkem
předmětů. Kolika způsoby lze sestavit rozvrh na jeden den, vyučuje-li se tento den
různých předmětů?
Řešení
Tvoříme šestice z jedenácti prvků,
.
Příklad 4
Ve třídě je
dívek a
chlapci. Určete:
-
kolika způsoby lze vybrat předsedu, jeho zástupce, pokladníka a nástěnkáře.
-
kolika způsoby lze vybrat funkci tak, aby předseda byl chlapec a zástupce dívka nebo obráceně.
Řešení
-
Tvořím čtveřice (předseda, zástupce, pokladník, nástěnkář) z celkového počtu třiceti studentů,
.
-
Tvoříme opět čtveřice, ale pozor na podmínky. Nejdříve vybereme jednoho chlapce ze ,
pak jednu dívku z
a zbývající dvě funkce vybíráme z
zbylých studentů.
Tento počet však musíme vynásobit dvěma, protože funkce mohou být obsazeny obráceně, celkový výsledek je
.
Příklad 5
Počet čtyř členných variací je trojnásobkem počtu trojčlenných variací z téže množiny prvků. Kolik prvků má tato množina?
Řešení
Sestavíme rovnici
provedeme rozložení
po úpravě dostáváme
Množina obsahuje šest prvků. Provedeme zkoušku, dosadíme do původního zadání za
.
Příklad 6
Z kolika různých prvků můžeme vytvořit devadesát dvojčlenných variací?
Řešení
Sestavíme rovnici
rozložíme
řešíme kvadratickou rovnici
kořeny
Prvků je deset. Počet prvků nemůže být záporné číslo. Provedu zkoušku, dosadím do původního zadání za
.
Příklad 7
Zvětší-li se počet prvků o tři, zvětší se počet trojčlenných variací o
. Jaký byl původně počet prvků?
Řešení
Sestavíme rovnici
rozložíme
upravíme a dostáváme kvadratickou rovnici
kořeny
Původní počet prvků byl šest. Počet prvků nemůže být záporné číslo. Provedu zkoušku, dosadím do původního zadaná za
.
Příklad 8
Řešte rovnici
Řešení
Rozložím
upravím na kvadratickou rovnici
kořeny
Provedu zkoušku, dosadím do původního zadání za
. Výsledek
.
Příklad 9
Kolik různých přirozených čísel větších než
lze sestavit z číslic
tak, že se žádná číslice neopakuje?
Řešení
Řešení má tři části, z číslic
mohu sestavit:
-
trojciferná čísla větší než
trojciferná čísla musí začínat
zbytek čísla vytvořím jako variace druhé třídy ze čtyř prvků
-
čtyřciferná čísla (všechna jsou větší než
)
čtyřciferná čísla nesmí začínat nulou, těchto zápisů je
celkový počet všech zápisů čtyřciferného čísla je
celkový počet jen čtyřciferných čísel je
-
pěticiferná čísla (všechna jsou větší než
)
celkový počet zápisů pěticiferného čísla je
pěticiferné číslo nesmí začínat nulou těchto zápisů je
celkový počet pěticiferných čísel je
Konečný výsledek je
Příklad 10
Výbor sportovního klubu tvoří šest mužů a čtyři ženy. Určete:
-
kolika způsoby z nich lze vybrat předsedu, místopředsedu, jednatele a hospodáře?
-
kolika způsoby z nich lze vybrat funkcionáře podle a) tak, aby ve funkci předsedy byl muž a ve funkci místopředsedy žena nebo obráceně?
-
kolika způsoby z nich lze vybrat funkcionáře podle a) tak, aby právě jedním z nich byla žena?
Řešení
-
tvořím variace čtvrté třídy z deseti prvků
-
předseda je muž
místopředseda je žena
výběr ostatních pozic
výpočet
tento počet násobím dvěma (předseda žena, místopředseda muž), výsledek je
.
-
tento počet násobím čtyřikrát, výsledek je .