Permutace
Definice učitele:
Permutace z
- prvků je každá uspořádaná
- tice sestavená pouze z těchto prvků tak, že se v ní každý prvek vyskytuje právě jednou.
Vztah permutace a variace:
Zapisujeme:
čteme: permutace
prvků.
Zápis
čteme:
- faktoriál.
Definujeme:
Výpočet počtu variací pomocí faktoriálu:
Příklad 1
Vypočítejte:
-
-
-
Řešení
-
-
-
Příklad 2
Zjednodušte a vypočítejte:
Řešení
Rozložíme tak, abychom mohli krátit.
Příklad 3
Zjednodušte a vypočítejte:
Řešení
Ve jmenovateli rozložíme tak, abychom mohli vytknout
.
Příklad 4
Vypočítejte:
Řešení
Rozložíme podle definic.
Příklad 5
Kolika způsoby můžeme obsadit šesti studenty šest funkcí v třídní samosprávě.
Řešení
Tvoříme uspořádané šestice ze
prvků.
Příklad 6
Určete:
-
Kolik různých čtyřciferných čísel je možno vytvořit z číslic
bez opakování číslic?
-
Kolik z těchto čísel je dělitelné dvěma?
-
Kolik z těchto čísel je dělitelné pěti?
Řešení
- Počet čtyřciferných čísel vytvořených z číslic
bez opakování číslic je:
-
Počet čtyřciferných čísel dělitelných dvěma je:
Na posledním místě může být jen
nebo
. Ostatní místa tvořím jako
-
Počet čtyřciferných čísel dělitelných pěti je:
Na posledním místě může být jen pětka, jinak tvořím
Příklad 7
Zmenší-li se počet prvků o
, počet permutací se zmenší
-krát. Jaký byl původní počet prvků.
Řešení
Sestavím rovnici:
Rovnici převedu na tvar:
Rozložím levou a pravou stranu tak, abych celou rovnici vydělil
Odstraním závorky a řeším kvadratickou rovnici:
Kořeny:
Původní počet prvků byl 8 (
vyjadřuje počet prvků, nemůže být záporné číslo).
Příklad 8
Zjednodušte výraz:
Řešení
Příklad 9
Zjednodušte výraz:
Řešení
Příklad 10
Zjednodušte výraz:
Řešení
Příklad 11
Zjednodušte výraz:
Řešení
Příklad 12
Zjednodušte výraz:
Řešení
Příklad 13
Zjednodušte výraz:
Řešení
Příklad 14
Zjednodušte výraz:
Řešení
Příklad 15
Řešte rovnici:
Řešení
Příklad 16
Řešte rovnici:
Řešení
Příklad 17
Řešte rovnici:
Řešení