MATEMATIKA

Integrate Result







Permutace

Definice učitele:
Permutace z n - prvků je každá uspořádaná n - tice sestavená pouze z těchto prvků tak, že se v ní každý prvek vyskytuje právě jednou.
Vztah permutace a variace: P( n )=V( n,n )
Zapisujeme:
P( n )=n( n1 )( n2 ). . .21=n!
P( n ) čteme: permutace n prvků.
Zápis n! čteme: n - faktoriál.
Definujeme: 0!=1
Výpočet počtu variací pomocí faktoriálu: V( k,n )= n! ( nk )!


Příklad 1
Vypočítejte:
  1. 4!
  2. 5!
  3. 6!
Řešení
  1. 4!=4321=24
  2. 5!=54321=120
  3. 6!=654321=720

Příklad 2
Zjednodušte a vypočítejte:
7!  5! 8!  4! + 2!  3! 0! 4!  1!
Řešení
Rozložíme tak, abychom mohli krátit.
7! 5! 8! 4! + 2! 3! 0! 4! 1! = 7! 54! 87! 4! + 21 3! 1 43! 1 = 5 8 + 2 4 = 9 8


Příklad 3
Zjednodušte a vypočítejte: 85! 6! 45! 7!
Řešení
Ve jmenovateli rozložíme tak, abychom mohli vytknout 5! .
85! 6! 45! 7! = 85! 65! 45! 765! = 85! 5! ( 6476 ) = 8 40 = 1 5


Příklad 4
Vypočítejte: V( 4,4 )P( 4 )+V( 2,3 )
Řešení
Rozložíme podle definic.
V( 4,4 )P( 4 )+V( 2,3 )=43214!+32=2424+6=6


Příklad 5
Kolika způsoby můžeme obsadit šesti studenty šest funkcí v třídní samosprávě.
Řešení
Tvoříme uspořádané šestice ze 6 prvků. P( 6 )=6!=720


Příklad 6
Určete:
  1. Kolik různých čtyřciferných čísel je možno vytvořit z číslic 2, 3, 4, 5 bez opakování číslic?
  2. Kolik z těchto čísel je dělitelné dvěma?
  3. Kolik z těchto čísel je dělitelné pěti?
Řešení
  1. Počet čtyřciferných čísel vytvořených z číslic 2, 3, 4, 5 bez opakování číslic je: P( 4 )=4!=24


  2. Počet čtyřciferných čísel dělitelných dvěma je: 2P( 3 )=23!=12 Na posledním místě může být jen 2 nebo 4 . Ostatní místa tvořím jako P( 3 )=3!


  3. Počet čtyřciferných čísel dělitelných pěti je: P( 3 )=3!=6 Na posledním místě může být jen pětka, jinak tvořím P( 3 )=3!

Příklad 7
Zmenší-li se počet prvků o 2 , počet permutací se zmenší 56 -krát. Jaký byl původní počet prvků.
Řešení
Sestavím rovnici: P( n )=56P( n2 )

Rovnici převedu na tvar: n!=56( n2 )!

Rozložím levou a pravou stranu tak, abych celou rovnici vydělil ( n2 )!

n( n1 )( n2 )!=56( n2 )!

Odstraním závorky a řeším kvadratickou rovnici:

n 2 n56=0

Kořeny: n 1,2 =7, 8

Původní počet prvků byl 8 ( n vyjadřuje počet prvků, nemůže být záporné číslo).


Příklad 8
Zjednodušte výraz: ( n+2 )! ( n+1 )!
Řešení
( n+2 )! ( n+1 )! =

= ( n+2 )( n+1 )! ( n+1 )! =

=n+2


Příklad 9
Zjednodušte výraz: ( n7 )! ( n9 )!
Řešení
( n7 )! ( n9 )! =

= ( n7 )( n8 )( n9 )! ( n9 )! =

=( n7 )( n8 )


Příklad 10
Zjednodušte výraz: ( p+2 )! ( p1 )!
Řešení
( p+2 )! ( p1 )! =

= ( p+2 )( p+1 )p( p1 )! ( p1 )! =

=( p+2 )( p+1 )p


Příklad 11
Zjednodušte výraz: ( n+2 )! ( n+1 )! ( n+1 )! n!
Řešení
( n+2 )! ( n+1 )! ( n+1 )! n! =

= ( n+2 )( n+1 )! ( n+1 )! ( n+1 )n! n! =

=n+2n1=

=1


Příklad 12
Zjednodušte výraz: ( n+2 )! n! 2 ( n+1 )! ( n1 )! + n! ( n2 )!
Řešení
( n+2 )! n! 2 ( n+1 )! ( n1 )! + n! ( n2 )! =

= ( n+2 )( n+1 )n! n! 2 ( n+1 )n( n1 )! ( n1 )! + n( n1 )( n2 )! ( n2 )! =

= n 2 +3n+22 n 2 2n+ n 2 n=

=2


Příklad 13
Zjednodušte výraz: 1 n! 3 ( n+1 )! n 2 4 ( n+2 )!
Řešení
1 n! 3 ( n+1 )! n 2 4 ( n+2 )! =

= 1 n! 3 ( n+1 )n! ( n2 )( n+2 ) ( n+2 )( n+1 )n! =

= n+13n+2 ( n+1 )n! =

= 0 ( n+1 )n! =

=0


Příklad 14
Zjednodušte výraz: 6 ( n+2 )! + n 2 9 ( n+3 )! 1 ( n+1 )!
Řešení
6 ( n+2 )! + n 2 9 ( n+3 )! 1 ( n+1 )! =

= 6 ( n+2 )( n+1 )! + ( n+3 )( n3 ) ( n+3 )( n+2 )( n+1 )! 1 ( n+1 )! =

= 6+n3n2 ( n+2 )( n+1 )! =

1 ( n+2 )( n+1 )! = 1 ( n+2 )!

= 1 ( n+2 )!


Příklad 15
Řešte rovnici: x ( x+3 )! ( x+2 )! + x 2 =14
Řešení
x ( x+3 )( x+2 )! ( x+2 )! + x 2 =14

x 2 +3x+ x 2 =14

2 x 2 +3x14=0

x 1,2 = 7 2 ,2

x=2


Příklad 16
Řešte rovnici: log( x+1 )!logx!=2
Řešení
log ( x+1 )! x! =2

log ( x+1 )x! x! =2

log( x+1 )=2

x+1=100

x=99


Příklad 17
Řešte rovnici: 2 log 1 2 x1= log 1 2 ( x+1 )! log 1 2 x!
Řešení
log 1 2 x 2 log 1 2 1 2 = log 1 2 ( x+1 )! x!

log 1 2 2 x 2 = log 1 2 ( x+1 )x! x!

log 1 2 2 x 2 = log 1 2 ( x+1 )

2 x 2 =x+1

2 x 2 x1=0

x 1,2 = 1 2 ,1

x=1


© 2010-2011 Petr Bělaška