MATEMATIKA

Integrate Result







Kombinace bez opakování

Definice učitele:
k -členná kombinace z n prvků je neuspořádaná k -tice (nezáleží na pořadí prvků) sestavená pouze z těchto n prvků tak, že každý prvek se v ní vyskytuje nejvýše jednou.
Zapisujeme:
Počet kombinací: K( k,n )=( n k )= n! ( nk )! k!
Platí: k,n N 0 , kn
Označení: K( k,n ) čteme: kombinace k té třídy z n prvků
( n k ) čteme: n nad k
( n k ) je kombinační číslo.


Příklad 1
Vypočtěte: ( 7 4 )
Řešení
( 7 4 )= = 7! 3! 4! = = 7654! 3214! = =35


Příklad 2
Vypočtěte: ( 8 3 )
Řešení
( 8 3 )= 8! 5! 3! = 8765! 5! 321 = =56


Příklad 3
Vypočtěte: 4( 6 3 )2( 8 2 )( 7 1 )( 11 0 )
Řešení
4( 6 3 )2( 8 2 )( 7 1 )( 11 0 )=

=4 6! 3!  3! 2 8! 6!  2! 7! 6!  1! 11! 11!  0! =

=4 6543! 3!321 2 876! 6!  2 76! 6! 1=

=80567=

=17


Příklad 4
Řešte rovnici: ( x5 x7 )=45
Řešení
( x5 )! 2!  ( x7 )! =45

( x5 )( x6 )( x7 )! 2( x7 )! =45

x 2 11x+30 2 =45

x 2 11x60=0

x 1,2 =4, 15

x=15


Příklad 5
Řešte rovnici: K( 2,x )= K( 2,x+4 ) 3
Řešení
( x 2 )= ( x+4 2 ) 3

3 x! ( x2 )!  2! = ( x+4 )! ( x+2 )!  2!

3 x( x1 )( x2 )! ( x2 )!  2 = ( x+4 )( x+3 )( x+2 )! ( x+2 )!  2

3x( x1 )= x 2 +7x+12

2 x 2 10x12=0

x 2 5x6=0

x 1,2 =1, 6

x=6


Příklad 6
Řešte rovnici: ( x x2 )+( x1 x3 )=4
Řešení
x! 2! ( x2 )! + ( x1 )! 2! ( x3 )! =4

x( x1 )( x2 )! 2( x2 )! + ( x1 )( x2 )( x3 )! 2( x3 )! =4

x( x1 )+( x1 )( x2 )=8

2 x 2 4x6=0

x 2 2x3=0

x 1,2 =1, 3

x=3


Příklad 7
Řešte rovnici: ( x+1 x+1 )+( 5 3 )( x+1 x )( 4 3 )( x+1 x1 )=1
Řešení
1+ 5! 2! 3! ( x+1 )! x! 4! 3! ( x+1 )! 2! ( x1 )! =1

1+ 543! 23! ( x+1 )x! x! 43! 3! ( x+1 )x( x1 )! 2( x1 )! =1

1+10( x+1 )2x( x+1 )=1

2 x 2 +8x+10=0

x 2 4x5=0

x 1,2 =1, 5

x=5


Příklad 8
Řešte rovnici: ( x2 x4 )( 5 3 )( 4 0 )+( 3 1 )+( 2 2 )=( 8 0 )( x x2 )
Řešení
( x2 )! 2! ( x4 )! 5! 2! 3! 1+3+1=1 x! 2! ( x2 )!

( x2 )( x3 )( x4 )! 2( x4 )! 543! 23! +4=1 x( x1 )( x2 )! 2( x2 )!

x 2 5x+6 2 10+4=1 x 2 x 2

x 2 5x+612=2( x 2 x )

2 x 2 6x8=0

x 2 3x4=0

x 1,2 =1, 4

x=4


Příklad 9
Řešte rovnici: ( x1 x3 )( 3 3 )+( x+1 x1 )=( 7 3 )( 4 1 )( 5 0 )
Řešení
( x1 )! 2!( x3 )! 1+ ( x+1 )! 2!( x1 )! = 7! 4!3! 41

( x1 )( x2 )( x3 )! 2( x3 )! + ( x+1 )x( x1 )! 2( x1 )! = 7654! 4! 6 4

x 2 3x+2 2 + x 2 +x 2 =354

2 x 2 2x60=0

x 2 x30=0

x 1,2 =5, 6

x=6


Příklad 10
Řešte rovnici: ( 2 1 )( x+2 x )( x1 x2 )( 7 0 )=( 4 2 )( 3 2 )+( 6 3 )( 6 6 )
Řešení
2 ( x+2 )! 2!x! ( x1 )! ( x2 )! 1= 4! 2!2! 3! 1!2! + 6! 3!3! 1

( x+2 )( x+1 )x! x! ( x1 )( x2 )! ( x2 )! = 24 4 6 2 + 6543! 63!

( x+2 )( x+1 )( x1 )=18+20

x 2 +2x35=0

x 1,2 =7, 5

x=5


Příklad 11
Kolik různých sázek v jednom tahu umožňuje tiket sázkové hry s 49 čísly z nichž se 6 zatrhává?
Řešení
k=6, n=49
K( 6,49 )= 49! 43! 6! = 49484746454443! 43! 6! =13 983 816


Příklad 12
Ve třídě je 26 dívek a 4 chlapci. Kolik je možností při zkoušení 5 žáků, mají-li být zkoušeni
  1. samé dívky,
  2. 3 dívky a 2 chlapci?
Řešení
  1. K( 5,26 )= 26! 21! 5! = 262524232221! 21! 120 =65 780

  2. K( 3,26 )K( 2,4 )=( 26 3 )( 4 2 )= 26! 23! 3! 4! 2! 2! = 26252423! 23! 6 24 4 =2 6006=15 600

Příklad 13
V krabici je 10 výrobků, z nichž jsou právě tři vadné. Kolika způsoby lze vybrat 5 výrobků tak, aby
  1. žádný nebyl vadný,
  2. právě jeden byl vadný,
  3. nejvýše jeden byl vadný,
  4. právě dva byly vadné,
  5. nejvýše dva byly vadné,
  6. alespoň dva byly vadné?
Řešení
  1. ( 7 5 )( 3 0 )=21
  2. ( 7 4 )( 3 1 )=105
  3. ( 7 4 )( 3 1 )+( 7 5 )( 3 0 )=105+21=126
  4. ( 7 3 )( 3 2 )=105
  5. ( 7 3 )( 3 2 )+( 7 4 )( 3 1 )+( 7 5 )( 3 0 )=105+105+21=231
  6. ( 7 3 )( 3 2 )+( 7 2 )( 3 3 )=105+21=126

Příklad 14
Kolik hráčů se zúčastnilo turnaje ve stolním tenisu, jestliže bylo odehráno 21 utkání a hráči hráli každý s každým jednou?
Řešení
K( 2,x )=21

x! ( x2 )! 2! =21

x( x1 )( x2 )! ( x2 )! 2 =21

x 2 x42=0

x 1,2 =6, 7

x=7


Příklad 15
Z kolika prvků lze vytvořit 990 kombinací druhé třídy bez opakování?
Řešení
K( 2,n )=990

n! ( n2 )! 2! =990

n( n1 )( n2 )! ( n2 )! 2 =990

n 2 n1980=0

n 1,2 =44, 45

n=45


Příklad 16
Zvětší-li se počet prvků o 4 , zvětší se počet kombinací druhé třídy z těchto prvků vytvořených o 30 . Kolik je prvků?
Řešení
K( 2,n+4 )=K( 2,n )+30

( n+4 )! ( n+2 )! 2! = n! ( n2 )! 2! +30

( n+4 )( n+3 )( n+2 )! ( n+2 )! 2 = n( n1 )( n2 )! ( n2 )! 2 +30

( n+4 )( n+3 )=n( n1 )+60

n=6


Příklad 17
Zmenší-li se počet prvků o 4 , zmenší se počet kombinací druhé třídy z těchto prvků třikrát. Kolik je prvků?
Řešení
K( 2,n )=3K( 2,n4 )

n! ( n2 )!2! =3 ( n4 )! ( n6 )!2

n( n1 )( n2 )! ( n2 )! 2 = 3( n4 )( n5 )( n6 )! ( n6 )!2

n( n1 )=3( n4 )( n5 )

n 2 13n+30=0

n 1,2 =2, 10

n=10


© 2010-2011 Petr Bělaška