MATEMATIKA

Integrate Result







Binomická věta

Pro každá čísla a, bC a pro každé nN platí: ( a+b ) n =( n 0 ) a n b 0 +( n 1 ) a n1 b+( n 2 ) a n2 b 2 + . +( n k ) a nk b k + . +( n n ) a 0 b n =
= k=0 n ( n k ) a nk b k
  • Kombinační čísla ( n k ) nazýváme binomické koeficienty a tvoří
    tzv. Pascalův trojúhelník.
    n=0 ( 0 0 ) 1
    n=1 ( 1 0 )   ( 1 1 ) 1      1
    n=2 ( 2 0 )   ( 2 1 )   ( 2 2 ) 1      2      1
    n=3 ( 3 0 )   ( 3 1 )   ( 3 2 )   ( 3 3 ) 1        3      3       1
    n=4 ( 4 0 )   ( 4 1 )   ( 4 2 )   ( 4 3 )   ( 4 4 ) 1       4       6       4      1
    n=5 ( 5 0 )   ( 5 1 )   ( 5 2 )   ( 5 3 )   ( 5 4 )   ( 5 5 ) 1       5      10     10      5     1
    n=6 ( 6 0 )   ( 6 1 )   ( 6 2 )   ( 6 3 )   ( 6 4 )   ( 6 5 )   ( 6 6 ) 1      6     15      20     15     6     1
    n=7 ( 7 0 )   ( 7 1 )   ( 7 2 )   ( 7 3 )   ( 7 4 )   ( 7 5 )   ( 7 6 )   ( 7 7 ) 1     7     21     35     35     21     7     1

  • Obecný k -tý člen, stojící na ( k+1 ) . místě binomického rozvoje, má tvar ( n k ) a nk b k .

  • Binomický rozvoj má n+1 členů.

  • Všimněte si třetího a šestého řádku Pascalova trojúhelníku a porovnejte se vzorci. ( a+b ) 2 = a 2 +2ab+ b 2
    ( a+b ) 5 = a 5 +5 a 4 b+10 a 3 b 2 +10 a 2 b 3 +5a b 4 + b 5

Příklad 1
Umocněte podle binomické věty: ( x3y ) 5
Řešení
( x3y ) 5 = [ x+( 3y ) ] 5 =

=( 5 0 ) x 5 ( 3y ) 0 +( 5 1 ) x 4 ( 3y ) 1 +( 5 2 ) x 3 ( 3y ) 2 +( 5 3 ) x 2 ( 3y ) 3 +( 5 4 ) x 1 ( 3y ) 4 +( 5 5 ) x 0 ( 3y ) 5 =

= x 5 5 x 4 3y+10 x 3 9 y 2 10 x 2 27 y 3 +5x81 y 4 243 y 5 =

= x 5 15 x 4 y+90 x 3 y 2 270 x 2 y 3 +405x y 4 243 y 5


Příklad 2
Umocněte podle binomické věty: ( 2 x + x 2 ) 6
Řešení
( 2 x + x 2 ) 6 =

=( 6 0 ) ( 2 x ) 6 ( x 2 ) 0 +( 6 1 ) ( 2 x ) 5 ( x 2 ) 1 +( 6 2 ) ( 2 x ) 4 ( x 2 ) 2 +( 6 3 ) ( 2 x ) 3 ( x 2 ) 3 +( 6 4 ) ( 2 x ) 2 ( x 2 ) 4 +

+( 6 5 ) ( 2 x ) 1 ( x 2 ) 5 +( 6 6 ) ( 2 x ) 0 ( x 2 ) 6 =

=64 x 3 +632 x 2 x x 2 +1516 x 2 x 4 +208x x x 6 +154x x 8 +62 x x 10 + x 12 =

=64 x 3 +192 x 4 x +240 x 6 +160 x 7 x +60


Příklad 3
Umocněte podle binomické věty: ( vx ) 7
Řešení
( vx ) 7 = [ ( v+x ) ] 7 =

=[ ( 7 0 ) v 7 x 0 +( 7 1 ) v 6 x 1 +( 7 2 ) v 5 x 2 +( 7 3 ) v 4 x 3 +( 7 4 ) v 3 x 4 +( 7 5 ) v 2 x 5 ( 7 6 ) v 1 x 6 +( 7 7 ) v 0 x 7 ]=

=[ v 7 +7 v 6 x+21 v 5 x 2 +35 v 4 x 3 +35 v 3 x 4 +21 v 2 x 5 +7v x 6 + x 7 ]=

= v 7 7 v 6 x21 v 5 x 2 35 v 4 x 3 35 v 3 x 4 21 v 2 x 5 7v x 6 x 7


Příklad 4
Umocněte podle binomické věty: ( 12 3 ) 4
Řešení
( 12 3 ) 4 = [ 1+( 2 3 ) ] 4 =

=( 4 0 ) 1 4 ( 2 3 ) 0 +( 4 1 ) 1 3 ( 2 3 ) 1 +( 4 2 ) 1 2 ( 2 3 ) 2 +( 4 3 ) 1 1 ( 2 3 ) 3 +( 4 4 ) 1 0 ( 2 3 ) 4 =

=1+41( 2 3 )+6143+41( 83 3 )+169=

=18 3 +7296 3 +144=

=217104 3


Příklad 5
Umocněte podle binomické a Moivreovy věty: a 4 , a=( 5 +i 5 )
Řešení
  1. podle binomické věty
    a 4 = ( i 5 5 ) 4 = [ i 5 +( 5 ) ] 4 =

    =( 4 0 ) ( i 5 ) 4 ( 5 ) 0 +( 4 1 ) ( i 5 ) 3 ( 5 ) 1 +( 4 2 ) ( i 5 ) 2 ( 5 ) 2 +( 4 3 ) ( i 5 ) 1 ( 5 ) 3 +( 4 4 ) ( i 5 ) 0 ( 5 ) 4 =

    = i 4 254 i 3 25+6 i 2 254i25+25=

    =25+100i150100i+25=

    =100


  2. podle Moivreovy věty
    a 4 , a=( 5 +i 5 )

    a= 5 +i 5 je algebraický tvar komplexního čísla

    a= 10 ( cos 3 4 π+isin 3 4 π ) je goniometrický tvar komplexního čísla a

    a 4 = ( 10 ) 4 ( cos4 3 4 π+isin4 3 4 π )

    a 4 =100( cos3π+isin3π )

    a 4 =100( cosπ+isinπ )

    a 4 =100( 1+i0 )

    a 4 =100

Příklad 6
Umocněte podle binomické a Moivreovy věty: a 3 , a=1i 3
Řešení
  1. podle binomické věty
    ( 1i 3 ) 3 = [ 1+( i 3 ) ] 3 =

    =( 3 0 ) 1 3 ( i 3 ) 0 +( 3 1 ) 1 2 ( i 3 ) 1 +( 3 2 ) 1 1 ( i 3 ) 2 +( 3 3 ) 1 0 ( i 3 ) 3 =

    =13i 3 +3 i 2 3 i 3 3 3 =

    =13i 3 9+3i 3 =

    =8


  2. podle Moivreovy věty
    a=1i 3

    a=2( cos 5 3 π+isin 5 3 π )

    a 3 =8( cos3 5 3 π+isin3 5 3 π )

    a 3 =8( cos5π+isin5π )

    a 3 =8( cosπ+isinπ )

    a 3 =8( 1+i0 )

    a 3 =8

Příklad 7
Určete čtvrtý člen binomického rozvoje výrazu ( x+2 ) 12
Řešení
čtvrtý člen: ( 12 3 ) x 9 2 3 =220 x 9 8=1760 x 9


Příklad 8
Určete jedenáctý člen binomického rozvoje výrazu ( x 4 +1 ) 15
Řešení
jedenáctý člen: ( 15 10 ) ( x 4 ) 5 1 10 = 15! 5! 10! ( x 20 )=3 003 x 20


Příklad 9
Určete prostřední člen binomického rozvoje výrazu ( m+ m 5 ) 10
Řešení
Podle binomické věty má binomický rozvoj n+1=10+1=11 členů. Prostřední člen je šestý, tzn. k=5 , pak platí:
( 10 5 ) m 5 ( m 5 ) 5 = 10! 5! 5! m 5 m=252 m 6


Příklad 10
Určete prostřední člen binomického rozvoje ( 2 3 7 3 ) 6
Řešení
Podle binomické věty má binomický rozvoj n+1=6+1=7 členů. Prostřední člen je čtvrtý, tzn. k=3 , pak platí:
( 6 3 ) ( 2 3 ) 3 ( 7 3 ) 3 =202( 7 )=280


Příklad 11
Určete třetí člen binomického rozvoje výrazu: ( i+ 1 3 ) 7
Řešení
( 7 2 ) ( i ) 5 ( 1 3 ) 2 =21( i 5 ) 1 9 = 7 3 i


Příklad 12
Kolikátý člen binomického rozvoje výrazu ( 2 x 2 3 x ) 6 neobsahuje x ?
Řešení
Určíme obecný člen rozvoje výrazu ( 2 x 2 3 x ) 6 :

( 6 k ) ( 2 x 2 ) 6k ( 3 x ) k =

=( 6 k ) 2 6k x 122k ( 3 ) k x k =

=( 6 k ) 2 6k ( 3 ) k x 123k

Nemá-li tento člen obsahovat proměnnou x , musí být její exponent roven nule, takže musíme vyřešit rovnici:

123k=0

k=4 , odtud k+1=5

Pátý člen neobsahuje x .

Ověříme výpočtem:

( 6 4 ) 2 2 ( 3 ) 4 x 0 =154811=4 860


Příklad 13
Kolikátý člen binomického rozvoje výrazu ( 8 x 6 4 x 2 ) 8 je absolutní?
Řešení
Určíme obecný člen rozvoje výrazu ( 8 x 6 4 x 2 ) 8 :

( 8 k ) ( 8 x 6 ) 8k ( 4 x 2 ) k =

=( 8 k ) 8 8k x 486k ( 4 k ) x 2k =

=( 8 k ) 8 8k ( 4 ) k x 488k

Nemá-li tento člen obsahovat proměnnou x , musí být její exponent roven nule, takže musíme vyřešit rovnici:

488k=0

k=6 , odtud k+1=7

Sedmý člen neobsahuje x .

Ověříme výpočtem:

( 8 6 ) ( 8 x 6 ) 2 ( 4 x 2 ) 6 =2864 x 12 4096 x 12 =7 340 032


Příklad 14
Kolikátý člen binomického rozvoje výrazu ( x+1 ) 12 obsahuje x 6 ?
Řešení
( 12 k ) x 12k 1 k

12k=6

k=6 , odtud k+1=7

Sedmý člen obsahuje x 6 .

Ověříme výpočtem:

( 12 6 ) x 6 1 6 =924 x 6


Příklad 15
Kolikátý člen binomického rozvoje výrazu ( 2 x 2 1 x ) 8 obsahuje x 7 ?
Řešení
( 8 k ) ( 2 x 2 ) 8k ( 1 x ) k =

=( 8 k ) 2 8k x 162k ( 1 k ) x k =

=( 8 k ) 2 8k ( 1 k ) x 163k

163k=7

k=3 , odtud k+1=4

Čtvrtý člen obsahuje x 7 .

Ověříme výpočtem:

( 8 3 ) ( 2 x 2 ) 5 ( 1 x ) 3 =

=5632 x 10 ( 1 x 3 )=

=1 792 x 7


© 2010-2011 Petr Bělaška