MATEMATIKA

Integrate Result







Poměr

Definice učitele:
Podíl a:b , kde a>0, b>0 , nazýváme poměr čísel a a b . Číslo a nazýváme první člen poměru, číslo b je jeho druhý člen.

Zápis poměrů a:b a současně b:c můžeme nahradit postupným poměrem a:b:c .
Např. Bronz je slitina cínu, olova a mědi – v poměru 1:1:8
Příklad 1
Zvětšete číslo 144 v poměru 5:4 .
Řešení
Číslo změníme v poměru tak, že jej vynásobíme poměrem zapsaným jako zlomek. x=144 5 4
x=180


Příklad 2
Sloup délky 3,15 m je zapuštěn do země tak, že délky zapuštěné části a části vyčnívající jsou v poměru 2:5 . Určete délky obou částí.
Řešení
Počet dílů pod zemí 2
Počet dílů vyčnívajících 5
Celkem dílů: 2+5=7
Délka jednoho dílu: 3,15:7=0,45
Délka dvou dílů: 20,45=0,9
Délka pěti dílů: 50,45=2,25

Délka zapuštěné části je 0,9 m a délka části vyčnívající 2,25 m .



Úměra

Definice učitele:
Úměra je zápis dvou sobě rovných poměrů a:b=c:d . Čísla a,d se nazývají vnější členy, čísla b,c se nazývají vnitřní členy úměry.
Platí: Součin vnějších členů úměry je roven součinu vnitřních členů úměry: ad=bc
Příklad 3
Plán města je nakreslen v měřítku 1:20000 . Určete jak dlouhý je ve skutečnosti most, který na plánu měří 1,5 cm .
Řešení
Máme dánu úměru 1:20000=1,5:x     /zapíšeme ji jako součin

1x=200001,5

x=30000 cm

x=300 m

Most je ve skutečnosti dlouhý 300 m .



Trojčlenka

Definice učitele:
Trojčlenkou nazýváme úlohu, která obsahuje dvojice na sobě závislých veličin (přímo nebo nepřímo), z nichž tři hodnoty známe a čtvrtou je třeba vypočítat.
Veličiny se zapíší do schématu, šipkami se vyjádří příslušné závislosti (souhlasně orientovanými šipkami přímá úměrnost, nesouhlasně orientovanými šipkami nepřímá úměrnost).
Z praktických důvodů pro snadnější výpočet je vhodné začínat psát šipky vždy u proměnné  x .




Přímá úměrnost

Definice učitele:
Přímá úměrnost je závislost mezi hodnotami proměnných x a y .
Platí: Kolikrát se zvětší (zmenší) hodnota x , tolikrát se zvětší (zmenší) hodnota y .
Přímá úměrnost se dá zapsat rovnicí y=kx pro x>0, k>0 .
Příklad 4
Tři stejné stroje vyrobí za jednu směnu 156 výrobků. Kolik výrobků vyrobí za jednu směnu pět stejných strojů?
Řešení
Trojčlenka

x:156=5:3
x=156 5 3
x=260

Pět stejných strojů vyrobí za jednu směnu 260 výrobků.



Nepřímá úměrnost

Definice učitele:
Nepřímá úměrnost je závislost mezi hodnotami proměnných x a y .
Platí: Kolikrát se zvětší (zmenší) hodnota proměnné x , tolikrát se zmenší (zvětší) hodnota proměnné y .
Nepřímá úměrnost se dá zapsat rovnicí y= k x , kde x>0, k>0 .
Příklad 5
Tři brigádníci vykopou za deset hodin příkop dlouhý 144 m . Za jak dlouho by to zvládlo pět brigádníků?
Řešení
Trojčlenka

x:10=3:5
x=10 3 5
x=6

Pět brigádníků by stejně dlouhý přikop vykopalo za 6 hodin.




Příklady k procvičení

Příklad 6
Upravte poměr 64:144 do základního tvaru.
Řešení
Poměr zapíšeme jako zlomek a převedeme na základní tvar.
64 144 = 4 9
Poměru 64:144 odpovídá poměr 4:9 .


Příklad 7
Změňte číslo 23,6 v poměru 5:2 .
Řešení
Číslo změníme v poměru tak, že jej vynásobíme poměrem zapsaným jako zlomek.
x=23,6 5 2
x=59


Příklad 8
Je dána úsečka délky 2,8 m. Rozdělte ji na tři části tak, aby jednotlivé části byly v poměru 3 : 4 : 7. Jakou délku v centimetrech budou mít jednotlivé části úsečky?
Řešení
Počet dílů v první části 3
Počet dílů ve druhé části 4
Počet dílů ve třetí části 7
Celkem dílů: 3+4+7=14
Délka jednoho dílu: 2,8:14=0,2
Délka první části: 30,2=0,6
Délka druhé části: 40,2=0,8
Délka třetí části: 70,2=1,4

První část je dlouhá 0,6 m , druhá 0,8 m a třetí 1,4 m .


Příklad 9
Mezi tři osoby má být rozděleno 100000 Kč tak, aby osoba A dostala dvakrát tolik jako B a osoba B třikrát tolik jako C . Kolik Kč dostane každý?
Řešení
A:B=2:1=6:3
B:C=3:1
A:B:C=6:3:1
Počet dílů pro osobu A        6
Počet dílů pro osobu B        3
Počet dílů pro osobu C        1
Celkem dílů:                      6+3+1=10
Částka za jeden díl:           100000:10=10000
Částka pro osobu A :          610000=60000
Částka pro osobu B :          310000=30000
Částka pro osobu C :          110000=10000

Osoba A dostala 60 000 Kč , osoba B 30 000 Kč a osoba C 10 000 Kč .


Příklad 10
Cena zájezdu pro jednoho účastníka je 6300 Kč , jestliže je autobus obsazen 40 osobami. O kolik Kč se zvýšila cena zájezdu, jestliže se zúčastnilo pouze 35 osob a náklady nebylo možné snížit?
Řešení
Trojčlenka

x:6300=40:35
x=6300 40 35
x=7200

Cena zájezdu se zvýšila na 7200 Kč .


Příklad 11
Prodavač vstupenek prodává vstupenky za 500 Kč .Kolik vstupenek musí prodat, aby získal 20000 Kč na nové kolo, má-li provizi (zisk) třetinu z ceny každé vstupenky?
Řešení
Aby získal 20000 Kč , musí prodat vstupenky za 320000 Kč=60000 Kč .
Trojčlenka

x:1=60000:500
x=1 60000 500
x=120

Ke koupi nového kola potřebuje prodat 120 vstupenek.


© 2010-2011 Petr Bělaška