Poměr
Definice učitele:
Podíl
, kde
, nazýváme poměr čísel
a
. Číslo
nazýváme první člen poměru, číslo
je jeho druhý člen.
Zápis poměrů
a současně
můžeme nahradit postupným poměrem
.
Např. Bronz je slitina cínu, olova a mědi – v poměru
Příklad 1
Zvětšete číslo
v poměru
.
Řešení
Číslo změníme v poměru tak, že jej vynásobíme poměrem zapsaným jako zlomek.
Příklad 2
Sloup délky
m je zapuštěn do země tak, že délky zapuštěné části a části vyčnívající jsou v poměru
. Určete délky obou částí.
Řešení
Počet dílů pod zemí
Počet dílů vyčnívajících
Celkem dílů:
Délka jednoho dílu:
Délka dvou dílů:
Délka pěti dílů:
Délka zapuštěné části je
a délka části vyčnívající
.
Úměra
Definice učitele:
Úměra je zápis dvou sobě rovných poměrů
.
Čísla
se nazývají vnější členy, čísla
se nazývají vnitřní členy úměry.
Platí: Součin vnějších členů úměry je roven součinu vnitřních členů úměry:
Příklad 3
Plán města je nakreslen v měřítku
. Určete jak dlouhý je ve skutečnosti most, který na plánu měří
.
Řešení
Máme dánu úměru /zapíšeme ji jako součin
Most je ve skutečnosti dlouhý
.
Trojčlenka
Definice učitele:
Trojčlenkou nazýváme úlohu, která obsahuje dvojice na sobě závislých veličin (přímo nebo
nepřímo), z nichž tři hodnoty známe a čtvrtou je třeba vypočítat.
Veličiny se zapíší do schématu, šipkami se vyjádří příslušné závislosti (souhlasně
orientovanými šipkami přímá úměrnost, nesouhlasně orientovanými šipkami nepřímá
úměrnost).
Z praktických důvodů pro snadnější výpočet je vhodné začínat psát šipky vždy u
proměnné
.
Přímá úměrnost
Definice učitele:
Přímá úměrnost je závislost mezi hodnotami proměnných
a
.
Platí: Kolikrát se zvětší (zmenší) hodnota
, tolikrát se zvětší (zmenší) hodnota
.
Přímá úměrnost se dá zapsat rovnicí
pro
.
Příklad 4
Tři stejné stroje vyrobí za jednu směnu 156 výrobků. Kolik výrobků vyrobí za jednu směnu pět stejných strojů?
Řešení
Pět stejných strojů vyrobí za jednu směnu
výrobků.
Nepřímá úměrnost
Definice učitele:
Nepřímá úměrnost je závislost mezi hodnotami proměnných
a
.
Platí: Kolikrát se zvětší (zmenší) hodnota proměnné
, tolikrát se zmenší (zvětší) hodnota
proměnné
.
Nepřímá úměrnost se dá zapsat rovnicí
, kde
.
Příklad 5
Tři brigádníci vykopou za deset hodin příkop dlouhý
. Za jak dlouho by to zvládlo pět brigádníků?
Řešení
Pět brigádníků by stejně dlouhý přikop vykopalo za
hodin.
Příklady k procvičení
Příklad 6
Upravte poměr
do základního tvaru.
Řešení
Poměr zapíšeme jako zlomek a převedeme na základní tvar.
Poměru
odpovídá poměr
.
Příklad 7
Změňte číslo
v poměru
.
Řešení
Číslo změníme v poměru tak, že jej vynásobíme poměrem zapsaným jako zlomek.
Příklad 8
Je dána úsečka délky 2,8 m. Rozdělte ji na tři části tak, aby jednotlivé části byly v poměru 3 : 4 : 7. Jakou délku v centimetrech budou mít jednotlivé části úsečky?
Řešení
Počet dílů v první části
Počet dílů ve druhé části
Počet dílů ve třetí části
Celkem dílů:
Délka jednoho dílu:
Délka první části:
Délka druhé části:
Délka třetí části:
První část je dlouhá
, druhá
a třetí
.
Příklad 9
Mezi tři osoby má být rozděleno
tak, aby osoba
dostala dvakrát tolik jako
a osoba
třikrát tolik jako
. Kolik Kč dostane každý?
Řešení
Počet dílů pro osobu
Počet dílů pro osobu
Počet dílů pro osobu
Celkem dílů:
Částka za jeden díl:
Částka pro osobu
:
Částka pro osobu
:
Částka pro osobu
:
Osoba
dostala
, osoba
a osoba
.
Příklad 10
Cena zájezdu pro jednoho účastníka je
, jestliže je autobus obsazen
osobami.
O kolik Kč se zvýšila cena zájezdu, jestliže se zúčastnilo pouze
osob a náklady nebylo možné snížit?
Řešení
Cena zájezdu se zvýšila na
.
Příklad 11
Prodavač vstupenek prodává vstupenky za
.Kolik vstupenek musí prodat, aby získal
na nové kolo, má-li provizi (zisk) třetinu z ceny každé vstupenky?
Řešení
Aby získal
, musí prodat vstupenky za
.
Ke koupi nového kola potřebuje prodat
vstupenek.